Theorem velsn 3660

Description: There is only one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
velsn	⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Proof of Theorem velsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2779	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elsn 3659	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  {csn 3643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778  df-sn 3649

This theorem is referenced by:  dfpr2  3662  mosn  3679  ralsnsg  3680  ralsns  3681  rexsns  3682  disjsn  3705  snprc  3708  euabsn2  3712  snmb  3764  prmg  3765  snssOLD  3770  snssb  3777  difprsnss  3782  eqsnm  3809  snsssn  3815  snsspw  3818  dfnfc2  3882  uni0b  3889  uni0c  3890  sndisj  4055  unidif0  4227  exmid01  4258  rext  4277  exss  4289  frirrg  4415  ordsucim  4566  ordtriexmidlem  4585  ordtri2or2exmidlem  4592  onsucelsucexmidlem  4595  elirr  4607  sucprcreg  4615  fconstmpt  4740  opeliunxp  4748  restidsing  5034  dmsnopg  5173  dfmpt3  5418  nfunsn  5634  fsn  5775  fnasrn  5781  fnasrng  5783  fconstfvm  5825  eusvobj2  5953  opabex3d  6229  opabex3  6230  dcdifsnid  6613  ecexr  6648  ixp0x  6836  xpsnen  6941  fidifsnen  6993  difinfsn  7228  exmidonfinlem  7332  iccid  10082  fzsn  10223  fzpr  10234  fzdifsuc  10238  fsum2dlemstep  11860  prodsnf  12018  fprod1p  12025  fprodunsn  12030  fprod2dlemstep  12048  ef0lem  12086  1nprm  12551  mgmidsssn0  13331  mnd1id  13403  0subm  13431  trivsubgsnd  13652  kerf1ghm  13725  mulgrhm2  14487  restsn  14767  lgsquadlem1  15669  lgsquadlem2  15670