Theorem velsn 3650

Description: There is only one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
velsn	⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Proof of Theorem velsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2775	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elsn 3649	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  {csn 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-sn 3639

This theorem is referenced by:  dfpr2  3652  mosn  3669  ralsnsg  3670  ralsns  3671  rexsns  3672  disjsn  3695  snprc  3698  euabsn2  3702  prmg  3754  snssOLD  3759  snssb  3766  difprsnss  3771  eqsnm  3796  snsssn  3802  snsspw  3805  dfnfc2  3868  uni0b  3875  uni0c  3876  sndisj  4040  unidif0  4211  exmid01  4242  rext  4259  exss  4271  frirrg  4397  ordsucim  4548  ordtriexmidlem  4567  ordtri2or2exmidlem  4574  onsucelsucexmidlem  4577  elirr  4589  sucprcreg  4597  fconstmpt  4722  opeliunxp  4730  restidsing  5015  dmsnopg  5154  dfmpt3  5398  nfunsn  5611  fsn  5752  fnasrn  5758  fnasrng  5760  fconstfvm  5802  eusvobj2  5930  opabex3d  6206  opabex3  6207  dcdifsnid  6590  ecexr  6625  ixp0x  6813  xpsnen  6916  fidifsnen  6967  difinfsn  7202  exmidonfinlem  7301  iccid  10047  fzsn  10188  fzpr  10199  fzdifsuc  10203  fsum2dlemstep  11745  prodsnf  11903  fprod1p  11910  fprodunsn  11915  fprod2dlemstep  11933  ef0lem  11971  1nprm  12436  mgmidsssn0  13216  mnd1id  13288  0subm  13316  trivsubgsnd  13537  kerf1ghm  13610  mulgrhm2  14372  restsn  14652  lgsquadlem1  15554  lgsquadlem2  15555