Theorem velsn 3706

Description: There is only one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
velsn	⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Proof of Theorem velsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2816	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elsn 3705	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {csn 3689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-sn 3695

This theorem is referenced by:  dfpr2  3708  mosn  3725  ralsnsg  3726  ralsns  3727  rexsns  3728  disjsn  3751  snprc  3754  euabsn2  3760  snmb  3813  prmg  3814  snssOLD  3819  snssb  3827  difprsnss  3832  eqsnm  3859  snsssn  3865  snsspw  3868  dfnfc2  3932  uni0b  3939  uni0c  3940  sndisj  4105  unidif0  4280  exmid01  4311  rext  4331  exss  4343  frirrg  4471  ordsucim  4622  ordtriexmidlem  4641  ordtri2or2exmidlem  4648  onsucelsucexmidlem  4651  elirr  4663  sucprcreg  4671  fconstmpt  4797  opeliunxp  4805  restidsing  5094  dmsnopg  5234  dfmpt3  5481  nfunsn  5707  fsn  5849  fnasrn  5856  fnasrng  5858  fconstfvm  5902  eusvobj2  6036  opabex3d  6314  opabex3  6315  dcdifsnid  6737  ecexr  6772  ixp0x  6961  xpsnen  7072  fidifsnen  7125  fissfi  7216  difinfsn  7391  exmidonfinlem  7496  iccid  10258  fzsn  10400  fzpr  10411  fzdifsuc  10415  hashfibc  11207  fsum2dlemstep  12120  prodsnf  12278  fprod1p  12285  fprodunsn  12290  fprod2dlemstep  12308  ef0lem  12346  1nprm  12811  mgmidsssn0  13597  mnd1id  13669  0subm  13697  trivsubgsnd  13918  kerf1ghm  13991  mulgrhm2  14758  restsn  15045  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951