Theorem velsn 3640

Description: There is only one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
velsn	⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Proof of Theorem velsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elsn 3639	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-sn 3629

This theorem is referenced by:  dfpr2  3642  mosn  3659  ralsnsg  3660  ralsns  3661  rexsns  3662  disjsn  3685  snprc  3688  euabsn2  3692  prmg  3744  snssOLD  3749  snssb  3756  difprsnss  3761  eqsnm  3786  snsssn  3792  snsspw  3795  dfnfc2  3858  uni0b  3865  uni0c  3866  sndisj  4030  unidif0  4201  exmid01  4232  rext  4249  exss  4261  frirrg  4386  ordsucim  4537  ordtriexmidlem  4556  ordtri2or2exmidlem  4563  onsucelsucexmidlem  4566  elirr  4578  sucprcreg  4586  fconstmpt  4711  opeliunxp  4719  restidsing  5003  dmsnopg  5142  dfmpt3  5383  nfunsn  5596  fsn  5737  fnasrn  5743  fnasrng  5745  fconstfvm  5783  eusvobj2  5911  opabex3d  6187  opabex3  6188  dcdifsnid  6571  ecexr  6606  ixp0x  6794  xpsnen  6889  fidifsnen  6940  difinfsn  7175  exmidonfinlem  7272  iccid  10017  fzsn  10158  fzpr  10169  fzdifsuc  10173  fsum2dlemstep  11616  prodsnf  11774  fprod1p  11781  fprodunsn  11786  fprod2dlemstep  11804  ef0lem  11842  1nprm  12307  mgmidsssn0  13086  mnd1id  13158  0subm  13186  trivsubgsnd  13407  kerf1ghm  13480  mulgrhm2  14242  restsn  14500  lgsquadlem1  15402  lgsquadlem2  15403