Theorem velsn 3690

Description: There is only one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
velsn	⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Proof of Theorem velsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2806	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elsn 3689	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {csn 3673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-sn 3679

This theorem is referenced by:  dfpr2  3692  mosn  3709  ralsnsg  3710  ralsns  3711  rexsns  3712  disjsn  3735  snprc  3738  euabsn2  3744  snmb  3797  prmg  3798  snssOLD  3803  snssb  3811  difprsnss  3816  eqsnm  3843  snsssn  3849  snsspw  3852  dfnfc2  3916  uni0b  3923  uni0c  3924  sndisj  4089  unidif0  4263  exmid01  4294  rext  4313  exss  4325  frirrg  4453  ordsucim  4604  ordtriexmidlem  4623  ordtri2or2exmidlem  4630  onsucelsucexmidlem  4633  elirr  4645  sucprcreg  4653  fconstmpt  4779  opeliunxp  4787  restidsing  5075  dmsnopg  5215  dfmpt3  5462  nfunsn  5685  fsn  5827  fnasrn  5834  fnasrng  5836  fconstfvm  5880  eusvobj2  6014  opabex3d  6292  opabex3  6293  dcdifsnid  6715  ecexr  6750  ixp0x  6938  xpsnen  7048  fidifsnen  7100  difinfsn  7359  exmidonfinlem  7464  iccid  10221  fzsn  10363  fzpr  10374  fzdifsuc  10378  fsum2dlemstep  12075  prodsnf  12233  fprod1p  12240  fprodunsn  12245  fprod2dlemstep  12263  ef0lem  12301  1nprm  12766  mgmidsssn0  13547  mnd1id  13619  0subm  13647  trivsubgsnd  13868  kerf1ghm  13941  mulgrhm2  14706  restsn  14991  lgsquadlem1  15896  lgsquadlem2  15897