Theorem velsn 3491

Description: There is only one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
velsn	⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Proof of Theorem velsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2644	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elsn 3490	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  {csn 3474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-v 2643  df-sn 3480

This theorem is referenced by:  dfpr2  3493  mosn  3507  ralsnsg  3508  ralsns  3509  rexsns  3510  disjsn  3532  snprc  3535  euabsn2  3539  prmg  3591  snss  3596  difprsnss  3605  eqsnm  3629  snsssn  3635  snsspw  3638  dfnfc2  3701  uni0b  3708  uni0c  3709  sndisj  3871  unidif0  4031  exmid01  4061  rext  4075  exss  4087  frirrg  4210  ordsucim  4354  ordtriexmidlem  4373  ordtri2or2exmidlem  4379  onsucelsucexmidlem  4382  elirr  4394  sucprcreg  4402  fconstmpt  4524  opeliunxp  4532  dmsnopg  4946  dfmpt3  5181  nfunsn  5387  fsn  5524  fnasrn  5530  fnasrng  5532  fconstfvm  5570  eusvobj2  5692  opabex3d  5950  opabex3  5951  dcdifsnid  6330  ecexr  6364  ixp0x  6550  xpsnen  6644  fidifsnen  6693  difinfsn  6900  iccid  9549  fzsn  9687  fzpr  9698  fzdifsuc  9702  fsum2dlemstep  11042  ef0lem  11164  1nprm  11588  restsn  12131