Theorem velsn 3593

Description: There is only one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
velsn	⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Proof of Theorem velsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2729	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elsn 3592	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {csn 3576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-sn 3582

This theorem is referenced by:  dfpr2  3595  mosn  3612  ralsnsg  3613  ralsns  3614  rexsns  3615  disjsn  3638  snprc  3641  euabsn2  3645  prmg  3697  snss  3702  difprsnss  3711  eqsnm  3735  snsssn  3741  snsspw  3744  dfnfc2  3807  uni0b  3814  uni0c  3815  sndisj  3978  unidif0  4146  exmid01  4177  rext  4193  exss  4205  frirrg  4328  ordsucim  4477  ordtriexmidlem  4496  ordtri2or2exmidlem  4503  onsucelsucexmidlem  4506  elirr  4518  sucprcreg  4526  fconstmpt  4651  opeliunxp  4659  dmsnopg  5075  dfmpt3  5310  nfunsn  5520  fsn  5657  fnasrn  5663  fnasrng  5665  fconstfvm  5703  eusvobj2  5828  opabex3d  6089  opabex3  6090  dcdifsnid  6472  ecexr  6506  ixp0x  6692  xpsnen  6787  fidifsnen  6836  difinfsn  7065  exmidonfinlem  7149  iccid  9861  fzsn  10001  fzpr  10012  fzdifsuc  10016  fsum2dlemstep  11375  prodsnf  11533  fprod1p  11540  fprodunsn  11545  fprod2dlemstep  11563  ef0lem  11601  1nprm  12046  mgmidsssn0  12615  restsn  12820