Theorem velsn 3624

Description: There is only one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
velsn	⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Proof of Theorem velsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2755	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elsn 3623	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  {csn 3607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-v 2754  df-sn 3613

This theorem is referenced by:  dfpr2  3626  mosn  3643  ralsnsg  3644  ralsns  3645  rexsns  3646  disjsn  3669  snprc  3672  euabsn2  3676  prmg  3728  snssOLD  3733  snssb  3740  difprsnss  3745  eqsnm  3770  snsssn  3776  snsspw  3779  dfnfc2  3842  uni0b  3849  uni0c  3850  sndisj  4014  unidif0  4185  exmid01  4216  rext  4233  exss  4245  frirrg  4368  ordsucim  4517  ordtriexmidlem  4536  ordtri2or2exmidlem  4543  onsucelsucexmidlem  4546  elirr  4558  sucprcreg  4566  fconstmpt  4691  opeliunxp  4699  restidsing  4981  dmsnopg  5118  dfmpt3  5357  nfunsn  5569  fsn  5709  fnasrn  5715  fnasrng  5717  fconstfvm  5755  eusvobj2  5883  opabex3d  6147  opabex3  6148  dcdifsnid  6530  ecexr  6565  ixp0x  6753  xpsnen  6848  fidifsnen  6899  difinfsn  7130  exmidonfinlem  7223  iccid  9957  fzsn  10098  fzpr  10109  fzdifsuc  10113  fsum2dlemstep  11477  prodsnf  11635  fprod1p  11642  fprodunsn  11647  fprod2dlemstep  11665  ef0lem  11703  1nprm  12149  mgmidsssn0  12863  mnd1id  12923  0subm  12951  trivsubgsnd  13157  kerf1ghm  13230  mulgrhm2  13925  restsn  14157