Theorem velsn 3639

Description: There is only one element in a singleton. Exercise 2 of [TakeutiZaring] p. 15. (Contributed by NM, 21-Jun-1993.)

Assertion

Ref	Expression
velsn	⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Proof of Theorem velsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2766	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elsn 3638	1 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {csn 3622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-sn 3628

This theorem is referenced by:  dfpr2  3641  mosn  3658  ralsnsg  3659  ralsns  3660  rexsns  3661  disjsn  3684  snprc  3687  euabsn2  3691  prmg  3743  snssOLD  3748  snssb  3755  difprsnss  3760  eqsnm  3785  snsssn  3791  snsspw  3794  dfnfc2  3857  uni0b  3864  uni0c  3865  sndisj  4029  unidif0  4200  exmid01  4231  rext  4248  exss  4260  frirrg  4385  ordsucim  4536  ordtriexmidlem  4555  ordtri2or2exmidlem  4562  onsucelsucexmidlem  4565  elirr  4577  sucprcreg  4585  fconstmpt  4710  opeliunxp  4718  restidsing  5002  dmsnopg  5141  dfmpt3  5380  nfunsn  5593  fsn  5734  fnasrn  5740  fnasrng  5742  fconstfvm  5780  eusvobj2  5908  opabex3d  6178  opabex3  6179  dcdifsnid  6562  ecexr  6597  ixp0x  6785  xpsnen  6880  fidifsnen  6931  difinfsn  7166  exmidonfinlem  7260  iccid  10000  fzsn  10141  fzpr  10152  fzdifsuc  10156  fsum2dlemstep  11599  prodsnf  11757  fprod1p  11764  fprodunsn  11769  fprod2dlemstep  11787  ef0lem  11825  1nprm  12282  mgmidsssn0  13027  mnd1id  13088  0subm  13116  trivsubgsnd  13331  kerf1ghm  13404  mulgrhm2  14166  restsn  14416  lgsquadlem1  15318  lgsquadlem2  15319