Theorem 01eq0ring 13466

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2189	. 2 ⊢ ( 0 = 1 ↔ 1 = 0 )
2		0ring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		0ring.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	ring0cl 13330	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
5		elex2 2765	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
7	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
8		0ring01eq.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	2, 8, 3	ring1eq0 13355	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 0 ))
10	7, 9	mpd3an3 1348	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 0 ))
11	10	impancom 260	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 0 ))
12	11	ralrimiv 2559	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 )
13		eqsnm 3767	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ))
14	13	biimpar 297	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ) → 𝐵 = { 0 })
15	6, 12, 14	syl2an2r 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 𝐵 = { 0 })
16	1, 15	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363  ∃wex 1502   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  {csn 3604  ‘cfv 5228  Basecbs 12476  0_gc0g 12723  1_rcur 13268  Ringcrg 13305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12909  df-minusg 12910  df-mgp 13230  df-ur 13269  df-ring 13307

This theorem is referenced by: (None)