Theorem 01eq0ring 13685

Description: If the zero and the identity element of a ring are the same, the ring is the zero ring. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.) (Proof shortened by SN, 23-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0ring.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
0ring.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
0ring01eq.1	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
01eq0ring	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Proof of Theorem 01eq0ring

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2195	. 2 ⊢ ( 0 = 1 ↔ 1 = 0 )
2		0ring.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		0ring.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	ring0cl 13517	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
5		elex2 2776	. . . 4 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
6	4, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵)
7	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
8		0ring01eq.1	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
9	2, 8, 3	ring1eq0 13544	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 0 ))
10	7, 9	mpd3an3 1349	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ( 1 = 0 → 𝑥 = 0 ))
11	10	impancom 260	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝑥 = 0 ))
12	11	ralrimiv 2566	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 )
13		eqsnm 3781	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 → (𝐵 = { 0 } ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ))
14	13	biimpar 297	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑥 = 0 ) → 𝐵 = { 0 })
15	6, 12, 14	syl2an2r 595	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 1 = 0 ) → 𝐵 = { 0 })
16	1, 15	sylan2b 287	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 = 1 ) → 𝐵 = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {csn 3618  ‘cfv 5254  Basecbs 12618  0_gc0g 12867  1_rcur 13455  Ringcrg 13492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494

This theorem is referenced by: (None)