Theorem dfss3 3173

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3172	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2480	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1362   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-ral 2480  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  ssrab  3262  eqsnm  3786  uni0b  3865  uni0c  3866  ssint  3891  ssiinf  3967  sspwuni  4002  dftr3  4136  tfis  4620  rninxp  5114  fnres  5377  eqfnfv3  5664  funimass3  5681  ffvresb  5728  tfrlemibxssdm  6394  tfr1onlembxssdm  6410  tfrcllembxssdm  6423  exmidontriimlem3  7308  suplocsr  7895  4sqlem19  12605  imasaddfnlemg  13018  isbasis2g  14389  tgval2  14395  eltg2b  14398  tgss2  14423  basgen2  14425  bastop1  14427  unicld  14460  neipsm  14498  ssidcn  14554  bdss  15618