Theorem dfss3 3217

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3216	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2516	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1396   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511   ⊆ wss 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-ral 2516  df-in 3207  df-ss 3214

This theorem is referenced by:  ssrab  3306  eqsnm  3843  uni0b  3923  uni0c  3924  ssint  3949  ssiinf  4025  sspwuni  4060  dftr3  4196  tfis  4687  rninxp  5187  fnres  5456  eqfnfv3  5755  funimass3  5772  ffvresb  5818  tfrlemibxssdm  6536  tfr1onlembxssdm  6552  tfrcllembxssdm  6565  exmidontriimlem3  7481  suplocsr  8072  4sqlem19  13045  imasaddfnlemg  13460  isbasis2g  14839  tgval2  14845  eltg2b  14848  tgss2  14873  basgen2  14875  bastop1  14877  unicld  14910  neipsm  14948  ssidcn  15004  bdss  16563