Theorem dfss3 3227

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3226	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2525	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1396   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520   ⊆ wss 3211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-ral 2525  df-in 3217  df-ss 3224

This theorem is referenced by:  ssrab  3316  eqsnm  3859  uni0b  3939  uni0c  3940  ssint  3965  ssiinf  4041  sspwuni  4076  dftr3  4212  tfis  4705  rninxp  5206  fnres  5475  eqfnfv3  5777  funimass3  5794  ffvresb  5840  tfrlemibxssdm  6558  tfr1onlembxssdm  6574  tfrcllembxssdm  6587  exmidontriimlem3  7530  suplocsr  8124  4sqlem19  13107  imasaddfnlemg  13527  isbasis2g  14910  tgval2  14916  eltg2b  14919  tgss2  14944  basgen2  14946  bastop1  14948  unicld  14981  neipsm  15019  ssidcn  15075  bdss  16634