Theorem dfss3 3214

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3213	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2513	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1393   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-ral 2513  df-in 3204  df-ss 3211

This theorem is referenced by:  ssrab  3303  eqsnm  3836  uni0b  3916  uni0c  3917  ssint  3942  ssiinf  4018  sspwuni  4053  dftr3  4189  tfis  4679  rninxp  5178  fnres  5446  eqfnfv3  5742  funimass3  5759  ffvresb  5806  tfrlemibxssdm  6488  tfr1onlembxssdm  6504  tfrcllembxssdm  6517  exmidontriimlem3  7428  suplocsr  8019  4sqlem19  12972  imasaddfnlemg  13387  isbasis2g  14759  tgval2  14765  eltg2b  14768  tgss2  14793  basgen2  14795  bastop1  14797  unicld  14830  neipsm  14868  ssidcn  14924  bdss  16395