Theorem dfss3 3186

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3185	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2490	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1371   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485   ⊆ wss 3170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-11 1530  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-ral 2490  df-in 3176  df-ss 3183

This theorem is referenced by:  ssrab  3275  eqsnm  3802  uni0b  3881  uni0c  3882  ssint  3907  ssiinf  3983  sspwuni  4018  dftr3  4154  tfis  4639  rninxp  5135  fnres  5402  eqfnfv3  5692  funimass3  5709  ffvresb  5756  tfrlemibxssdm  6426  tfr1onlembxssdm  6442  tfrcllembxssdm  6455  exmidontriimlem3  7351  suplocsr  7942  4sqlem19  12807  imasaddfnlemg  13221  isbasis2g  14592  tgval2  14598  eltg2b  14601  tgss2  14626  basgen2  14628  bastop1  14630  unicld  14663  neipsm  14701  ssidcn  14757  bdss  15938