Theorem dfss3 3216

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3215	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2515	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1395   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-ral 2515  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  ssrab  3305  eqsnm  3838  uni0b  3918  uni0c  3919  ssint  3944  ssiinf  4020  sspwuni  4055  dftr3  4191  tfis  4681  rninxp  5180  fnres  5449  eqfnfv3  5746  funimass3  5763  ffvresb  5810  tfrlemibxssdm  6492  tfr1onlembxssdm  6508  tfrcllembxssdm  6521  exmidontriimlem3  7437  suplocsr  8028  4sqlem19  12981  imasaddfnlemg  13396  isbasis2g  14768  tgval2  14774  eltg2b  14777  tgss2  14802  basgen2  14804  bastop1  14806  unicld  14839  neipsm  14877  ssidcn  14933  bdss  16459