Theorem dfss3 3145

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3144	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2460	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1351   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   ⊆ wss 3129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-ral 2460  df-in 3135  df-ss 3142

This theorem is referenced by:  ssrab  3233  eqsnm  3755  uni0b  3834  uni0c  3835  ssint  3860  ssiinf  3936  sspwuni  3971  dftr3  4105  tfis  4582  rninxp  5072  fnres  5332  eqfnfv3  5615  funimass3  5632  ffvresb  5679  tfrlemibxssdm  6327  tfr1onlembxssdm  6343  tfrcllembxssdm  6356  exmidontriimlem3  7221  suplocsr  7807  imasaddfnlemg  12734  isbasis2g  13515  tgval2  13521  eltg2b  13524  tgss2  13549  basgen2  13551  bastop1  13553  unicld  13586  neipsm  13624  ssidcn  13680  bdss  14586