Theorem dfss3 3230

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3229	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2527	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1396   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-ral 2527  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  ssrab  3320  eqsnm  3864  uni0b  3944  uni0c  3945  ssint  3970  ssiinf  4046  sspwuni  4081  dftr3  4217  tfis  4710  rninxp  5211  fnres  5480  eqfnfv3  5782  funimass3  5799  ffvresb  5845  tfrlemibxssdm  6571  tfr1onlembxssdm  6587  tfrcllembxssdm  6600  exmidontriimlem3  7543  suplocsr  8140  4sqlem19  13132  imasaddfnlemg  13578  isbasis2g  15036  tgval2  15042  eltg2b  15045  tgss2  15070  basgen2  15072  bastop1  15074  unicld  15107  neipsm  15145  ssidcn  15201  bdss  16760