Theorem dfss3 3170

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3169	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2477	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1362   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   ⊆ wss 3154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-ral 2477  df-in 3160  df-ss 3167

This theorem is referenced by:  ssrab  3258  eqsnm  3782  uni0b  3861  uni0c  3862  ssint  3887  ssiinf  3963  sspwuni  3998  dftr3  4132  tfis  4616  rninxp  5110  fnres  5371  eqfnfv3  5658  funimass3  5675  ffvresb  5722  tfrlemibxssdm  6382  tfr1onlembxssdm  6398  tfrcllembxssdm  6411  exmidontriimlem3  7285  suplocsr  7871  4sqlem19  12550  imasaddfnlemg  12900  isbasis2g  14224  tgval2  14230  eltg2b  14233  tgss2  14258  basgen2  14260  bastop1  14262  unicld  14295  neipsm  14333  ssidcn  14389  bdss  15426