Theorem dfss3 3147

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3146	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2460	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1351   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   ⊆ wss 3131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-ral 2460  df-in 3137  df-ss 3144

This theorem is referenced by:  ssrab  3235  eqsnm  3757  uni0b  3836  uni0c  3837  ssint  3862  ssiinf  3938  sspwuni  3973  dftr3  4107  tfis  4584  rninxp  5074  fnres  5334  eqfnfv3  5618  funimass3  5635  ffvresb  5682  tfrlemibxssdm  6331  tfr1onlembxssdm  6347  tfrcllembxssdm  6360  exmidontriimlem3  7225  suplocsr  7811  imasaddfnlemg  12741  isbasis2g  13706  tgval2  13712  eltg2b  13715  tgss2  13740  basgen2  13742  bastop1  13744  unicld  13777  neipsm  13815  ssidcn  13871  bdss  14777