Theorem dfss3 3213

Description: Alternate definition of subclass relationship. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
dfss3	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem dfss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssalel 3212	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
2		df-ral 2513	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐵))
3	1, 2	bitr4i 187	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1393   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-ral 2513  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  ssrab  3302  eqsnm  3833  uni0b  3913  uni0c  3914  ssint  3939  ssiinf  4015  sspwuni  4050  dftr3  4186  tfis  4675  rninxp  5172  fnres  5440  eqfnfv3  5736  funimass3  5753  ffvresb  5800  tfrlemibxssdm  6479  tfr1onlembxssdm  6495  tfrcllembxssdm  6508  exmidontriimlem3  7416  suplocsr  8007  4sqlem19  12947  imasaddfnlemg  13362  isbasis2g  14734  tgval2  14740  eltg2b  14743  tgss2  14768  basgen2  14770  bastop1  14772  unicld  14805  neipsm  14843  ssidcn  14899  bdss  16282