Theorem sssnm 3676

Description: The inhabited subset of a singleton. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
sssnm	⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 = {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem sssnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3086	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ {𝐵}))
2		elsni 3540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
3	1, 2	syl6 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 = 𝐵))
4		eleq1 2200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	3, 4	syl6 33	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝐵 ∈ 𝐴)))
6	5	ibd 177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
7	6	exlimdv 1791	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝐴))
8		snssi 3659	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴)
9	7, 8	syl6 33	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → {𝐵} ⊆ 𝐴))
10	9	anc2li 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ {𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ 𝐴)))
11		eqss 3107	. . . 4 ⊢ (𝐴 = {𝐵} ↔ (𝐴 ⊆ {𝐵} ∧ {𝐵} ⊆ 𝐴))
12	10, 11	syl6ibr 161	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {𝐵} → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐴 = {𝐵}))
13	12	com12 30	. 2 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ {𝐵} → 𝐴 = {𝐵}))
14		eqimss 3146	. 2 ⊢ (𝐴 = {𝐵} → 𝐴 ⊆ {𝐵})
15	13, 14	impbid1 141	1 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 = {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3066  {csn 3522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-v 2683  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528

This theorem is referenced by:  eqsnm  3677  exmid01  4116  exmidn0m  4119  exmidsssn  4120  exmidomni  7007  exmidunben  11928  exmidsbthrlem  13206  sbthomlem  13209