Theorem nninfinf 10552

Description: ℕ_∞ is infinte. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfinf	⊢ ω ≼ ℕ∞

Proof of Theorem nninfinf

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninf 7201	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞))
3		1lt2o 6509	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
5		0lt2o 6508	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
7		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
9		nndcel 6567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑛)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑛)
11	4, 6, 10	ifcldcd 3598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o)
12	11	ralrimiva 2570	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o)
13		mpteqb 5655	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)))
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)))
15		nfv 1542	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω)
16		nfra1 2528	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)
17	15, 16	nfan 1579	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
18		elnn 4643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
19	18	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 → 𝑖 ∈ ω))
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑛 → 𝑖 ∈ ω))
21		elnn 4643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
22	21	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑚 → 𝑖 ∈ ω))
23	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑚 → 𝑖 ∈ ω))
24		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
25		nndcel 6567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑚)
26	7, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑚)
27		1n0 6499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ≠ ∅
28		ifnebibdc 3605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((DECID 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ DECID 𝑖 ∈ 𝑚 ∧ 1o ≠ ∅) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
29	27, 28	mp3an3 1337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((DECID 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ DECID 𝑖 ∈ 𝑚) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
30	10, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
31	30	ralbidva 2493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
32	31	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → ∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
33		rsp 2544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚) → (𝑖 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
35	20, 23, 34	pm5.21ndd 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
36	17, 35	alrimi 1536	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → ∀𝑖(𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
37		axext4 2180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 ↔ ∀𝑖(𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → 𝑛 = 𝑚)
39	38	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) → 𝑛 = 𝑚))
40		elequ2 2172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
41	40	ifbid 3583	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
42	41	ralrimivw 2571	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
43	39, 42	impbid1 142	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ 𝑛 = 𝑚))
44	14, 43	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ 𝑛 = 𝑚))
45	44	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ 𝑛 = 𝑚)))
46		omex 4630	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
47	46	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ω ∈ V)
48		nninfex 7196	. . . 4 ⊢ ℕ∞ ∈ V
49	48	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕ∞ ∈ V)
50	2, 45, 47, 49	dom3d 6842	. 2 ⊢ (⊤ → ω ≼ ℕ∞)
51	50	mptru 1373	1 ⊢ ω ≼ ℕ∞

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 835  ∀wal 1362   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  Vcvv 2763  ∅c0 3451  ifcif 3562   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ωcom 4627  1_oc1o 6476  2_oc2o 6477   ≼ cdom 6807  ℕ_∞xnninf 7194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1o 6483  df-2o 6484  df-map 6718  df-dom 6810  df-nninf 7195

This theorem is referenced by:  nnnninfen  15752