Theorem nninfinf 10863

Description: ℕ_∞ is infinte. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfinf	⊢ ω ≼ ℕ∞

Proof of Theorem nninfinf

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninf 7460	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞))
3		1lt2o 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
5		0lt2o 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
7		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
8		simpll 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
9		nndcel 6767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑛)
10	7, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑛)
11	4, 6, 10	ifcldcd 3678	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o)
12	11	ralrimiva 2623	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o)
13		mpteqb 5793	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)))
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)))
15		nfv 1581	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω)
16		nfra1 2581	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)
17	15, 16	nfan 1618	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
18		elnn 4751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
19	18	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 → 𝑖 ∈ ω))
20	19	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑛 → 𝑖 ∈ ω))
21		elnn 4751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
22	21	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑚 → 𝑖 ∈ ω))
23	22	ad2antlr 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑚 → 𝑖 ∈ ω))
24		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
25		nndcel 6767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑚)
26	7, 24, 25	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑚)
27		1n0 6699	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ≠ ∅
28		ifnebibdc 3686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((DECID 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ DECID 𝑖 ∈ 𝑚 ∧ 1o ≠ ∅) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
29	27, 28	mp3an3 1367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((DECID 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ DECID 𝑖 ∈ 𝑚) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
30	10, 26, 29	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
31	30	ralbidva 2546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
32	31	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → ∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
33		rsp 2597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚) → (𝑖 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
35	20, 23, 34	pm5.21ndd 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
36	17, 35	alrimi 1575	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → ∀𝑖(𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
37		axext4 2222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 ↔ ∀𝑖(𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → 𝑛 = 𝑚)
39	38	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) → 𝑛 = 𝑚))
40		elequ2 2214	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
41	40	ifbid 3662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
42	41	ralrimivw 2624	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
43	39, 42	impbid1 142	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ 𝑛 = 𝑚))
44	14, 43	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ 𝑛 = 𝑚))
45	44	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ 𝑛 = 𝑚)))
46		omex 4738	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
47	46	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ω ∈ V)
48		nninfex 7455	. . . 4 ⊢ ℕ∞ ∈ V
49	48	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕ∞ ∈ V)
50	2, 45, 47, 49	dom3d 7054	. 2 ⊢ (⊤ → ω ≼ ℕ∞)
51	50	mptru 1411	1 ⊢ ω ≼ ℕ∞

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 846  ∀wal 1400   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  Vcvv 2821  ∅c0 3520  ifcif 3638   class class class wbr 4128   ↦ cmpt 4190  ωcom 4735  1_oc1o 6674  2_oc2o 6675   ≼ cdom 7015  ℕ_∞xnninf 7453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1o 6681  df-2o 6682  df-map 6918  df-dom 7018  df-nninf 7454

This theorem is referenced by:  nnnninfen  17038