Theorem nninfinf 10595

Description: ℕ_∞ is infinte. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfinf	⊢ ω ≼ ℕ∞

Proof of Theorem nninfinf

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninf 7235	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞))
3		1lt2o 6535	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
5		0lt2o 6534	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
7		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
9		nndcel 6593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑛)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑛)
11	4, 6, 10	ifcldcd 3609	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o)
12	11	ralrimiva 2580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o)
13		mpteqb 5677	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)))
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)))
15		nfv 1552	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω)
16		nfra1 2538	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)
17	15, 16	nfan 1589	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
18		elnn 4658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
19	18	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 → 𝑖 ∈ ω))
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑛 → 𝑖 ∈ ω))
21		elnn 4658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
22	21	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑚 → 𝑖 ∈ ω))
23	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑚 → 𝑖 ∈ ω))
24		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
25		nndcel 6593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑚)
26	7, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑚)
27		1n0 6525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ≠ ∅
28		ifnebibdc 3616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((DECID 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ DECID 𝑖 ∈ 𝑚 ∧ 1o ≠ ∅) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
29	27, 28	mp3an3 1339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((DECID 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ DECID 𝑖 ∈ 𝑚) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
30	10, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
31	30	ralbidva 2503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
32	31	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → ∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
33		rsp 2554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚) → (𝑖 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
35	20, 23, 34	pm5.21ndd 707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
36	17, 35	alrimi 1546	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → ∀𝑖(𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
37		axext4 2190	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 ↔ ∀𝑖(𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → 𝑛 = 𝑚)
39	38	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) → 𝑛 = 𝑚))
40		elequ2 2182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
41	40	ifbid 3593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
42	41	ralrimivw 2581	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
43	39, 42	impbid1 142	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ 𝑛 = 𝑚))
44	14, 43	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ 𝑛 = 𝑚))
45	44	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ 𝑛 = 𝑚)))
46		omex 4645	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
47	46	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ω ∈ V)
48		nninfex 7230	. . . 4 ⊢ ℕ∞ ∈ V
49	48	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕ∞ ∈ V)
50	2, 45, 47, 49	dom3d 6872	. 2 ⊢ (⊤ → ω ≼ ℕ∞)
51	50	mptru 1382	1 ⊢ ω ≼ ℕ∞

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 836  ∀wal 1371   = wceq 1373  ⊤wtru 1374   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∀wral 2485  Vcvv 2773  ∅c0 3461  ifcif 3572   class class class wbr 4047   ↦ cmpt 4109  ωcom 4642  1_oc1o 6502  2_oc2o 6503   ≼ cdom 6833  ℕ_∞xnninf 7228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1o 6509  df-2o 6510  df-map 6744  df-dom 6836  df-nninf 7229

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16032