Theorem nninfinf 10706

Description: ℕ_∞ is infinte. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jul-2025.)

Assertion

Ref	Expression
nninfinf	⊢ ω ≼ ℕ∞

Proof of Theorem nninfinf

Dummy variables 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnninf 7325	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞)
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) ∈ ℕ∞))
3		1lt2o 6610	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
5		0lt2o 6609	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
7		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
8		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑛 ∈ ω)
9		nndcel 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑛 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑛)
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑛)
11	4, 6, 10	ifcldcd 3643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o)
12	11	ralrimiva 2605	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o)
13		mpteqb 5737	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) ∈ 2o → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)))
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)))
15		nfv 1576	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖(𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω)
16		nfra1 2563	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)
17	15, 16	nfan 1613	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑖((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
18		elnn 4704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑛 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
19	18	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 → 𝑖 ∈ ω))
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑛 → 𝑖 ∈ ω))
21		elnn 4704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑚 ∧ 𝑚 ∈ ω) → 𝑖 ∈ ω)
22	21	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑚 → 𝑖 ∈ ω))
23	22	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑚 → 𝑖 ∈ ω))
24		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → 𝑚 ∈ ω)
25		nndcel 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑖 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑚)
26	7, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID 𝑖 ∈ 𝑚)
27		1n0 6600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1o ≠ ∅
28		ifnebibdc 3651	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((DECID 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ DECID 𝑖 ∈ 𝑚 ∧ 1o ≠ ∅) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
29	27, 28	mp3an3 1362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((DECID 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ DECID 𝑖 ∈ 𝑚) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
30	10, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ 𝑖 ∈ ω) → (if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
31	30	ralbidva 2528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ ∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
32	31	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → ∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
33		rsp 2579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ ω (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚) → (𝑖 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
34	32, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ ω → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚)))
35	20, 23, 34	pm5.21ndd 712	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
36	17, 35	alrimi 1570	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → ∀𝑖(𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
37		axext4 2215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 ↔ ∀𝑖(𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
38	36, 37	sylibr 134	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) ∧ ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) → 𝑛 = 𝑚)
39	38	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) → 𝑛 = 𝑚))
40		elequ2 2207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑖 ∈ 𝑛 ↔ 𝑖 ∈ 𝑚))
41	40	ifbid 3627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
42	41	ralrimivw 2606	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅))
43	39, 42	impbid1 142	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (∀𝑖 ∈ ω if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅) = if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅) ↔ 𝑛 = 𝑚))
44	14, 43	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ 𝑛 = 𝑚))
45	44	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → ((𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑛, 1o, ∅)) = (𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑚, 1o, ∅)) ↔ 𝑛 = 𝑚)))
46		omex 4691	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
47	46	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ω ∈ V)
48		nninfex 7320	. . . 4 ⊢ ℕ∞ ∈ V
49	48	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ℕ∞ ∈ V)
50	2, 45, 47, 49	dom3d 6947	. 2 ⊢ (⊤ → ω ≼ ℕ∞)
51	50	mptru 1406	1 ⊢ ω ≼ ℕ∞

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 841  ∀wal 1395   = wceq 1397  ⊤wtru 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∀wral 2510  Vcvv 2802  ∅c0 3494  ifcif 3605   class class class wbr 4088   ↦ cmpt 4150  ωcom 4688  1_oc1o 6575  2_oc2o 6576   ≼ cdom 6908  ℕ_∞xnninf 7318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1o 6582  df-2o 6583  df-map 6819  df-dom 6911  df-nninf 7319

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16644