Theorem infex2g 7051

Description: Existence of infimum. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
infex2g	⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)

Proof of Theorem infex2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 7002	. 2 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2		supex2g 7050	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ V)
3	1, 2	eqeltrid 2276	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752  ^◡ccnv 4640  supcsup 6999  infcinf 7000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-un 4448

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-in 3150  df-ss 3157  df-uni 3825  df-sup 7001  df-inf 7002

This theorem is referenced by:  odzval  12259