Theorem eqeltrid 2226

Description: B membership and equality inference. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqeltrid.1	⊢ 𝐴 = 𝐵
eqeltrid.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqeltrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem eqeltrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeltrid.1	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐵
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqeltrid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
4	2, 3	eqeltrd 2216	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1423  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-ial 1514  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-cleq 2132  df-clel 2135

This theorem is referenced by:  eqeltrrid  2227  csbexga  4056  otexg  4152  tpexg  4365  dmresexg  4842  f1oabexg  5379  funfvex  5438  riotaexg  5734  riotaprop  5753  fnovex  5804  ovexg  5805  fovrn  5913  fnovrn  5918  cofunexg  6009  cofunex2g  6010  abrexex2g  6018  xpexgALT  6031  mpofvex  6101  tfrex  6265  frec0g  6294  freccllem  6299  ecexg  6433  qsexg  6485  pmex  6547  elixpsn  6629  diffifi  6788  unfidisj  6810  prfidisj  6815  tpfidisj  6816  ssfirab  6822  ssfidc  6823  fnfi  6825  funrnfi  6830  iunfidisj  6834  infclti  6910  djuex  6928  ctssdccl  6996  addvalex  7652  negcl  7962  intqfrac2  10092  intfracq  10093  frec2uzzd  10173  frecuzrdgrrn  10181  iseqf1olemqpcl  10269  seq3f1olemqsum  10273  bcval5  10509  xrmaxiflemval  11019  climmpt  11069  reccn2ap  11082  zsumdc  11153  fsumzcl2  11174  fsump1i  11202  fsumabs  11234  hash2iun1dif1  11249  mertenslemi1  11304  algrf  11726  algcvg  11729  algcvga  11732  algfx  11733  eucalgcvga  11739  eucalg  11740  crth  11900  phimullem  11901  ennnfonelemj0  11914  ennnfonelemom  11921  ressid  12020  1strbas  12058  2strbasg  12060  2stropg  12061  restid  12131  topnvalg  12132  topnidg  12133  topopn  12175  topcld  12278  uncld  12282  iuncld  12284  unicld  12285  tgrest  12338  restin  12345  cnco  12390  cnrest  12404  cnptoprest2  12409  lmss  12415  txbasval  12436  txcn  12444  cnmpt12f  12455  hmeoco  12485  idhmeo  12486  blres  12603  metrest  12675  qtopbasss  12690  tgqioo  12716  divcnap  12724  fsumcncntop  12725  cncfmet  12748  cdivcncfap  12756  cnrehmeocntop  12762  cnplimcim  12805  limccnpcntop  12813  limccnp2lem  12814  limccnp2cntop  12815  dvfvalap  12819  bj-snexg  13110  trilpolemcl  13230