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Theorem ordiso2 6649
Description: Generalize ordiso 6650 to proper classes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordiso2 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ordiso2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordsson 4275 . . . . . 6 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
213ad2ant2 963 . . . . 5 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ On)
32sseld 3011 . . . 4 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ On))
4 eleq1 2147 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
5 fveq2 5256 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
6 id 19 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
75, 6eqeq12d 2099 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
84, 7imbi12d 232 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥) ↔ (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)))
98imbi2d 228 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)) ↔ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦))))
10 r19.21v 2446 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) ↔ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)))
11 ordelss 4173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
12113ad2antl2 1104 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1312sselda 3012 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
14 pm5.5 240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
1615ralbidva 2372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦))
17 isof1o 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
18173ad2ant1 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
1918ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
20 simpll3 982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → Ord 𝐵)
21 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑥))
22 f1of 5204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2317, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
24233ad2ant1 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
2524ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹:𝐴𝐵)
26 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑥𝐴)
2725, 26ffvelrnd 5383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
2821, 27jca 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
29 ordtr1 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑧𝐵))
3020, 28, 29sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧𝐵)
31 f1ocnvfv2 5500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
3219, 30, 31syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
3332, 21eqeltrd 2161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥))
34 simpll1 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
35 f1ocnv 5217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
36 f1of 5204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
3719, 35, 363syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹:𝐵𝐴)
3837, 30ffvelrnd 5383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐴)
39 isorel 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝐴𝑥𝐴)) → ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥)))
4034, 38, 26, 39syl12anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥)))
41 vex 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 ∈ V
4241epelc 4085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑥)
4342a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑥))
44 f1ofn 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
4517, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
46 funfvex 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
4746funfni 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
4845, 47sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
4934, 26, 48syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ V)
50 epelg 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑥) ∈ V → ((𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥)))
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ((𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥)))
5240, 43, 513bitr3d 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥)))
5333, 52mpbird 165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑥)
54 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)
55 fveq2 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐹𝑧)))
56 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐹𝑧) → 𝑦 = (𝐹𝑧))
5755, 56eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) = (𝐹𝑧)))
5857rspcv 2710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑥 → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦 → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = (𝐹𝑧)))
5953, 54, 58sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = (𝐹𝑧))
6032, 59eqtr3d 2119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧 = (𝐹𝑧))
6160, 53eqeltrd 2161 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧𝑥)
62 simprr 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)
63 fveq2 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
64 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧)
6563, 64eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑧))
6665rspccva 2713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
6762, 66sylan 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
68 epel 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 E 𝑥𝑧𝑥)
6968biimpri 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝑥𝑧 E 𝑥)
7069adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 E 𝑥)
71 simpll1 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
72 simpl2 945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → Ord 𝐴)
73 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥𝐴)
7472, 73, 11syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥𝐴)
7574sselda 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝐴)
76 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥𝐴)
77 isorel 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ (𝑧𝐴𝑥𝐴)) → (𝑧 E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) E (𝐹𝑥)))
7871, 75, 76, 77syl12anc 1170 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝑧 E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) E (𝐹𝑥)))
7970, 78mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) E (𝐹𝑥))
8071, 76, 48syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ V)
81 epelg 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ V → ((𝐹𝑧) E (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥)))
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → ((𝐹𝑧) E (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥)))
8379, 82mpbid 145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥))
8467, 83eqeltrrd 2162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑥))
8561, 84impbida 561 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑥) ↔ 𝑧𝑥))
8685eqrdv 2083 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
8786expr 367 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦 → (𝐹𝑥) = 𝑥))
8816, 87sylbid 148 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑥))
8988ex 113 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
9089com23 77 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
9190a2i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
9291a1i 9 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ On → (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
9310, 92syl5bi 150 . . . . . 6 (𝑥 ∈ On → (∀𝑦𝑥 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
949, 93tfis2 4366 . . . . 5 (𝑥 ∈ On → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
9594com3l 80 . . . 4 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
963, 95mpdd 40 . . 3 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥))
9796ralrimiv 2441 . 2 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥)
98 fveq2 5256 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
99 id 19 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
10098, 99eqeq12d 2099 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑧))
101100rspccva 2713 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
102101adantll 460 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
10323ffvelrnda 5382 . . . . . . . 8 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
1041033ad2antl1 1103 . . . . . . 7 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
105104adantlr 461 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
106102, 105eqeltrrd 2162 . . . . 5 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐵)
107106ex 113 . . . 4 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
108 simpl1 944 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
109 f1ofo 5211 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
110 forn 5187 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
11117, 109, 1103syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
112108, 111syl 14 . . . . . . 7 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → ran 𝐹 = 𝐵)
113112eleq2d 2154 . . . . . 6 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧 ∈ ran 𝐹𝑧𝐵))
114453ad2ant1 962 . . . . . . . 8 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
115114adantr 270 . . . . . . 7 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → 𝐹 Fn 𝐴)
116 fvelrnb 5300 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧))
117115, 116syl 14 . . . . . 6 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧))
118113, 117bitr3d 188 . . . . 5 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐵 ↔ ∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧))
119 fveq2 5256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
120 id 19 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
121119, 120eqeq12d 2099 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑤) = 𝑤))
122121rspcv 2710 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝐹𝑤) = 𝑤))
123122a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝐹𝑤) = 𝑤)))
124 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧) → (𝐹𝑤) = 𝑧)
125 simpl 107 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧) → (𝐹𝑤) = 𝑤)
126124, 125eqtr3d 2119 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧) → 𝑧 = 𝑤)
127126adantl 271 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑤𝐴) ∧ ((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧)) → 𝑧 = 𝑤)
128 simplr 497 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑤𝐴) ∧ ((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧)) → 𝑤𝐴)
129127, 128eqeltrd 2161 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑤𝐴) ∧ ((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧)) → 𝑧𝐴)
130129exp43 364 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑤𝐴 → ((𝐹𝑤) = 𝑤 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))))
131123, 130syldd 66 . . . . . . . 8 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))))
132131com23 77 . . . . . . 7 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝑤𝐴 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))))
133132imp 122 . . . . . 6 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐴 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴)))
134133rexlimdv 2484 . . . . 5 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))
135118, 134sylbid 148 . . . 4 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐵𝑧𝐴))
136107, 135impbid 127 . . 3 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
137136eqrdv 2083 . 2 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → 𝐴 = 𝐵)
13897, 137mpdan 412 1 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  wrex 2356  Vcvv 2614  wss 2986   class class class wbr 3814   E cep 4081  Ord word 4156  Oncon0 4157  ccnv 4403  ran crn 4405   Fn wfn 4967  wf 4968  ontowfo 4970  1-1-ontowf1o 4971  cfv 4972   Isom wiso 4973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-setind 4319
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-tr 3905  df-eprel 4083  df-id 4087  df-iord 4160  df-on 4162  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-isom 4981
This theorem is referenced by:  ordiso  6650
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