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Theorem ordiso2 6979
Description: Generalize ordiso 6980 to proper classes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordiso2 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem ordiso2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordsson 4451 . . . . . 6 (Ord 𝐴𝐴 ⊆ On)
213ad2ant2 1004 . . . . 5 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 ⊆ On)
32sseld 3127 . . . 4 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴𝑥 ∈ On))
4 eleq1 2220 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
5 fveq2 5468 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
6 id 19 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
75, 6eqeq12d 2172 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
84, 7imbi12d 233 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥) ↔ (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)))
98imbi2d 229 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)) ↔ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦))))
10 r19.21v 2534 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑥 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) ↔ ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)))
11 ordelss 4339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Ord 𝐴𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
12113ad2antl2 1145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
1312sselda 3128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐴)
14 pm5.5 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ (𝐹𝑦) = 𝑦))
1615ralbidva 2453 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) ↔ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦))
17 isof1o 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
18173ad2ant1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
1918ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
20 simpll3 1023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → Ord 𝐵)
21 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑥))
22 f1of 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
2317, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
24233ad2ant1 1003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
2524ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹:𝐴𝐵)
26 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑥𝐴)
2725, 26ffvelrnd 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
2821, 27jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
29 ordtr1 4348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝐵 → ((𝑧 ∈ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵) → 𝑧𝐵))
3020, 28, 29sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧𝐵)
31 f1ocnvfv2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
3219, 30, 31syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = 𝑧)
3332, 21eqeltrd 2234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥))
34 simpll1 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
35 f1ocnv 5427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐵1-1-onto𝐴)
36 f1of 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐴𝐹:𝐵𝐴)
3719, 35, 363syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝐹:𝐵𝐴)
3837, 30ffvelrnd 5603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐴)
39 isorel 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ ((𝐹𝑧) ∈ 𝐴𝑥𝐴)) → ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥)))
4034, 38, 26, 39syl12anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥)))
41 vex 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥 ∈ V
4241epelc 4251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑥)
4342a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑧) E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) ∈ 𝑥))
44 f1ofn 5415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹 Fn 𝐴)
4517, 44syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
46 funfvex 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ V)
4746funfni 5270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐹 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
4845, 47sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
4934, 26, 48syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑥) ∈ V)
50 epelg 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹𝑥) ∈ V → ((𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥)))
5149, 50syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ((𝐹‘(𝐹𝑧)) E (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥)))
5240, 43, 513bitr3d 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑥 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) ∈ (𝐹𝑥)))
5333, 52mpbird 166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹𝑧) ∈ 𝑥)
54 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)
55 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐹𝑧) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝐹𝑧)))
56 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐹𝑧) → 𝑦 = (𝐹𝑧))
5755, 56eqeq12d 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐹𝑧) → ((𝐹𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐹‘(𝐹𝑧)) = (𝐹𝑧)))
5857rspcv 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑧) ∈ 𝑥 → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦 → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = (𝐹𝑧)))
5953, 54, 58sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → (𝐹‘(𝐹𝑧)) = (𝐹𝑧))
6032, 59eqtr3d 2192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧 = (𝐹𝑧))
6160, 53eqeltrd 2234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑧𝑥)
62 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)
63 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
64 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑧𝑦 = 𝑧)
6563, 64eqeq12d 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑧))
6665rspccva 2815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
6762, 66sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
68 epel 4252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 E 𝑥𝑧𝑥)
6968biimpri 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝑥𝑧 E 𝑥)
7069adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 E 𝑥)
71 simpll1 1021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
72 simpl2 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → Ord 𝐴)
73 simprl 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥𝐴)
7472, 73, 11syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → 𝑥𝐴)
7574sselda 3128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧𝐴)
76 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑥𝐴)
77 isorel 5758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ (𝑧𝐴𝑥𝐴)) → (𝑧 E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) E (𝐹𝑥)))
7871, 75, 76, 77syl12anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝑧 E 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) E (𝐹𝑥)))
7970, 78mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) E (𝐹𝑥))
8071, 76, 48syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑥) ∈ V)
81 epelg 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) ∈ V → ((𝐹𝑧) E (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥)))
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → ((𝐹𝑧) E (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥)))
8379, 82mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → (𝐹𝑧) ∈ (𝐹𝑥))
8467, 83eqeltrrd 2235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) ∧ 𝑧𝑥) → 𝑧 ∈ (𝐹𝑥))
8561, 84impbida 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐹𝑥) ↔ 𝑧𝑥))
8685eqrdv 2155 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦)) → (𝐹𝑥) = 𝑥)
8786expr 373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) = 𝑦 → (𝐹𝑥) = 𝑥))
8816, 87sylbid 149 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑥))
8988ex 114 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
9089com23 78 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
9190a2i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
9291a1i 9 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ On → (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
9310, 92syl5bi 151 . . . . . 6 (𝑥 ∈ On → (∀𝑦𝑥 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑦𝐴 → (𝐹𝑦) = 𝑦)) → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥))))
949, 93tfis2 4544 . . . . 5 (𝑥 ∈ On → ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
9594com3l 81 . . . 4 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝐹𝑥) = 𝑥)))
963, 95mpdd 41 . . 3 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝐹𝑥) = 𝑥))
9796ralrimiv 2529 . 2 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥)
98 fveq2 5468 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
99 id 19 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧𝑥 = 𝑧)
10098, 99eqeq12d 2172 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑧) = 𝑧))
101100rspccva 2815 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
102101adantll 468 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) = 𝑧)
10323ffvelrnda 5602 . . . . . . . 8 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
1041033ad2antl1 1144 . . . . . . 7 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
105104adantlr 469 . . . . . 6 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐵)
106102, 105eqeltrrd 2235 . . . . 5 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐵)
107106ex 114 . . . 4 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
108 simpl1 985 . . . . . . . 8 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → 𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵))
109 f1ofo 5421 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
110 forn 5395 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
11117, 109, 1103syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
112108, 111syl 14 . . . . . . 7 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → ran 𝐹 = 𝐵)
113112eleq2d 2227 . . . . . 6 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧 ∈ ran 𝐹𝑧𝐵))
114453ad2ant1 1003 . . . . . . . 8 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
115114adantr 274 . . . . . . 7 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → 𝐹 Fn 𝐴)
116 fvelrnb 5516 . . . . . . 7 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧))
117115, 116syl 14 . . . . . 6 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧))
118113, 117bitr3d 189 . . . . 5 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐵 ↔ ∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧))
119 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
120 id 19 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑤𝑥 = 𝑤)
121119, 120eqeq12d 2172 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐹𝑤) = 𝑤))
122121rspcv 2812 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝐹𝑤) = 𝑤))
123122a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝐹𝑤) = 𝑤)))
124 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧) → (𝐹𝑤) = 𝑧)
125 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧) → (𝐹𝑤) = 𝑤)
126124, 125eqtr3d 2192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧) → 𝑧 = 𝑤)
127126adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑤𝐴) ∧ ((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧)) → 𝑧 = 𝑤)
128 simplr 520 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑤𝐴) ∧ ((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧)) → 𝑤𝐴)
129127, 128eqeltrd 2234 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ 𝑤𝐴) ∧ ((𝐹𝑤) = 𝑤 ∧ (𝐹𝑤) = 𝑧)) → 𝑧𝐴)
130129exp43 370 . . . . . . . . 9 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑤𝐴 → ((𝐹𝑤) = 𝑤 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))))
131123, 130syldd 67 . . . . . . . 8 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))))
132131com23 78 . . . . . . 7 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥 → (𝑤𝐴 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))))
133132imp 123 . . . . . 6 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑤𝐴 → ((𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴)))
134133rexlimdv 2573 . . . . 5 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (∃𝑤𝐴 (𝐹𝑤) = 𝑧𝑧𝐴))
135118, 134sylbid 149 . . . 4 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐵𝑧𝐴))
136107, 135impbid 128 . . 3 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → (𝑧𝐴𝑧𝐵))
137136eqrdv 2155 . 2 (((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝑥) → 𝐴 = 𝐵)
13897, 137mpdan 418 1 ((𝐹 Isom E , E (𝐴, 𝐵) ∧ Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  wrex 2436  Vcvv 2712  wss 3102   class class class wbr 3965   E cep 4247  Ord word 4322  Oncon0 4323  ccnv 4585  ran crn 4587   Fn wfn 5165  wf 5166  ontowfo 5168  1-1-ontowf1o 5169  cfv 5170   Isom wiso 5171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4496
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179
This theorem is referenced by:  ordiso  6980
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