Theorem fival 6866

Description: The set of all the finite intersections of the elements of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
fival	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fival

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fi 6865	. 2 ⊢ fi = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥})
2		pweq 3518	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝐴)
3	2	ineq1d 3281	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝒫 𝑧 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4	3	rexeqdv 2636	. . 3 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥))
5	4	abbidv 2258	. 2 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥} = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥})
6		elex 2700	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
7		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → 𝑦 = ∩ 𝑥)
8		elinel1 3267	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
9	8	elpwid 3526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
10		eqvisset 2699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = ∩ 𝑥 → ∩ 𝑥 ∈ V)
11		intexr 4083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ V → 𝑥 ≠ ∅)
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = ∩ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅)
13	12	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
14	13	neneqd 2330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
15		elinel2 3268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
16	15	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
17		fin0or 6788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥))
18	17	orcomd 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥 ∨ 𝑥 = ∅))
19	16, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥 ∨ 𝑥 = ∅))
20	14, 19	ecased 1328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
21		intssuni2m 3803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥) → ∩ 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
22	9, 20, 21	syl2an2r 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → ∩ 𝑥 ⊆ ∪ 𝐴)
23	7, 22	eqsstrd 3138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → 𝑦 ⊆ ∪ 𝐴)
24		velpw 3522	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ ∪ 𝐴)
25	23, 24	sylibr 133	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = ∩ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝐴)
26	25	rexlimiva 2547	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝒫 ∪ 𝐴)
27	26	abssi 3177	. . 3 ⊢ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥} ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴
28		uniexg 4369	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ 𝐴 ∈ V)
29	28	pwexd 4113	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 ∪ 𝐴 ∈ V)
30		ssexg 4075	. . 3 ⊢ (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥} ⊆ 𝒫 ∪ 𝐴 ∧ 𝒫 ∪ 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥} ∈ V)
31	27, 29, 30	sylancr 411	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥} ∈ V)
32	1, 5, 6, 31	fvmptd3 5522	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = ∩ 𝑥})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  {cab 2126   ≠ wne 2309  ∃wrex 2418  Vcvv 2689   ∩ cin 3075   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  𝒫 cpw 3515  ∪ cuni 3744  ∩ cint 3779  ‘cfv 5131  Fincfn 6642  ficfi 6864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-er 6437  df-en 6643  df-fin 6645  df-fi 6865

This theorem is referenced by:  elfi  6867  fi0  6871