Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fival GIF version

Theorem fival 6907
 Description: The set of all the finite intersections of the elements of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fival (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fival
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fi 6906 . 2 fi = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥})
2 pweq 3546 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝐴)
32ineq1d 3307 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝒫 𝑧 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
43rexeqdv 2659 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥))
54abbidv 2275 . 2 (𝑧 = 𝐴 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥})
6 elex 2723 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
7 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
8 elinel1 3293 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
98elpwid 3554 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
10 eqvisset 2722 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 𝑥 ∈ V)
11 intexr 4111 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑥 ∈ V → 𝑥 ≠ ∅)
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥𝑥 ≠ ∅)
1312adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
1413neneqd 2348 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
15 elinel2 3294 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1615adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
17 fin0or 6824 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧𝑥))
1817orcomd 719 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ Fin → (∃𝑧 𝑧𝑥𝑥 = ∅))
1916, 18syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (∃𝑧 𝑧𝑥𝑥 = ∅))
2014, 19ecased 1331 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑧 𝑧𝑥)
21 intssuni2m 3831 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ∃𝑧 𝑧𝑥) → 𝑥 𝐴)
229, 20, 21syl2an2r 585 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 𝐴)
237, 22eqsstrd 3164 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 𝐴)
24 velpw 3550 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 𝐴)
2523, 24sylibr 133 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
2625rexlimiva 2569 . . . 4 (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
2726abssi 3203 . . 3 {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴
28 uniexg 4398 . . . 4 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2928pwexd 4141 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
30 ssexg 4103 . . 3 (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} ∈ V)
3127, 29, 30sylancr 411 . 2 (𝐴𝑉 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} ∈ V)
321, 5, 6, 31fvmptd3 5558 1 (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 698   = wceq 1335  ∃wex 1472   ∈ wcel 2128  {cab 2143   ≠ wne 2327  ∃wrex 2436  Vcvv 2712   ∩ cin 3101   ⊆ wss 3102  ∅c0 3394  𝒫 cpw 3543  ∪ cuni 3772  ∩ cint 3807  ‘cfv 5167  Fincfn 6678  ficfi 6905 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-iinf 4545 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-er 6473  df-en 6679  df-fin 6681  df-fi 6906 This theorem is referenced by:  elfi  6908  fi0  6912
 Copyright terms: Public domain W3C validator