ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fival GIF version

Theorem fival 6824
Description: The set of all the finite intersections of the elements of 𝐴. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fival (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fival
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-fi 6823 . 2 fi = (𝑧 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥})
2 pweq 3481 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝐴)
32ineq1d 3244 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → (𝒫 𝑧 ∩ Fin) = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
43rexeqdv 2608 . . 3 (𝑧 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥))
54abbidv 2233 . 2 (𝑧 = 𝐴 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑧 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥})
6 elex 2669 . 2 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
7 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
8 elinel1 3230 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴)
98elpwid 3489 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥𝐴)
10 eqvisset 2668 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 𝑥 ∈ V)
11 intexr 4043 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑥 ∈ V → 𝑥 ≠ ∅)
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥𝑥 ≠ ∅)
1312adantl 273 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ≠ ∅)
1413neneqd 2304 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ¬ 𝑥 = ∅)
15 elinel2 3231 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑥 ∈ Fin)
1615adantr 272 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 ∈ Fin)
17 fin0or 6746 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Fin → (𝑥 = ∅ ∨ ∃𝑧 𝑧𝑥))
1817orcomd 701 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ Fin → (∃𝑧 𝑧𝑥𝑥 = ∅))
1916, 18syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (∃𝑧 𝑧𝑥𝑥 = ∅))
2014, 19ecased 1310 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ∃𝑧 𝑧𝑥)
21 intssuni2m 3763 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴 ∧ ∃𝑧 𝑧𝑥) → 𝑥 𝐴)
229, 20, 21syl2an2r 567 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑥 𝐴)
237, 22eqsstrd 3101 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 𝐴)
24 velpw 3485 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 𝐴)
2523, 24sylibr 133 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
2625rexlimiva 2519 . . . 4 (∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
2726abssi 3140 . . 3 {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴
28 uniexg 4329 . . . 4 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2928pwexd 4073 . . 3 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
30 ssexg 4035 . . 3 (({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} ∈ V)
3127, 29, 30sylancr 408 . 2 (𝐴𝑉 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥} ∈ V)
321, 5, 6, 31fvmptd3 5480 1 (𝐴𝑉 → (fi‘𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)𝑦 = 𝑥})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wo 680   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  {cab 2101  wne 2283  wrex 2392  Vcvv 2658  cin 3038  wss 3039  c0 3331  𝒫 cpw 3478   cuni 3704   cint 3739  cfv 5091  Fincfn 6600  ficfi 6822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-er 6395  df-en 6601  df-fin 6603  df-fi 6823
This theorem is referenced by:  elfi  6825  fi0  6829
  Copyright terms: Public domain W3C validator