Theorem po3nr 4450

Description: A partial order relation has no 3-cycle loops. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
po3nr	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))

Proof of Theorem po3nr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		po2nr 4449	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))
2	1	3adantr2 1188	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))
3		df-3an 1011	. . 3 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵) ↔ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ∧ 𝐷𝑅𝐵))
4		potr 4448	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))
5	4	anim1d 336	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ∧ 𝐷𝑅𝐵) → (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵)))
6	3, 5	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵) → (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵)))
7	2, 6	mtod 673	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125   Po wpo 4434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-po 4436

This theorem is referenced by:  so3nr  4462