Theorem po3nr 4413

Description: A partial order relation has no 3-cycle loops. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
po3nr	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))

Proof of Theorem po3nr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		po2nr 4412	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))
2	1	3adantr2 1184	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))
3		df-3an 1007	. . 3 ⊢ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵) ↔ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ∧ 𝐷𝑅𝐵))
4		potr 4411	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))
5	4	anim1d 336	. . 3 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) ∧ 𝐷𝑅𝐵) → (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵)))
6	3, 5	biimtrid 152	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵) → (𝐵𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵)))
7	2, 6	mtod 669	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷 ∧ 𝐷𝑅𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093   Po wpo 4397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-po 4399

This theorem is referenced by:  so3nr  4425