Theorem potr 4286

Description: A partial order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 27-Mar-1997.)

Assertion

Ref	Expression
potr	⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem potr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pocl 4281	. . 3 ⊢ (𝑅 Po 𝐴 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ∧ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))))
2	1	imp 123	. 2 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → (¬ 𝐵𝑅𝐵 ∧ ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷)))
3	2	simprd 113	1 ⊢ ((𝑅 Po 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ∈ 𝐴)) → ((𝐵𝑅𝐶 ∧ 𝐶𝑅𝐷) → 𝐵𝑅𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982   Po wpo 4272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-po 4274

This theorem is referenced by:  po2nr  4287  po3nr  4288  pofun  4290  sotr  4296  issod  4297  poltletr  5004  poxp  6200  fimax2gtrilemstep  6866