ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminadd GIF version

Theorem xrminadd 11056
Description: Distributing addition over minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminadd ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem xrminadd
StepHypRef Expression
1 simp1 981 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21xnegcld 9650 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
3 simp2 982 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43xnegcld 9650 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
5 simp3 983 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
65xnegcld 9650 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
7 xrmaxcl 11033 . . . 4 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
84, 6, 7syl2anc 408 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9 xnegdi 9663 . . 3 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → -𝑒(-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )) = (-𝑒-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
102, 8, 9syl2anc 408 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )) = (-𝑒-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
111, 3xaddcld 9679 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
121, 5xaddcld 9679 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
13 xrminmax 11046 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ))
1411, 12, 13syl2anc 408 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ))
15 xnegdi 9663 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
161, 3, 15syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
17 xnegdi 9663 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶))
181, 5, 17syl2anc 408 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶))
1916, 18preq12d 3608 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → {-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)} = {(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)})
2019supeq1d 6874 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ))
21 xnegeq 9622 . . . 4 (sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) → -𝑒sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ))
2220, 21syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ))
23 xrmaxadd 11042 . . . . 5 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) = (-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
242, 4, 6, 23syl3anc 1216 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) = (-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
25 xnegeq 9622 . . . 4 (sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) = (-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )) → -𝑒sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒(-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
2624, 25syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒(-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
2714, 22, 263eqtrd 2176 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒(-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
28 xnegneg 9628 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
2928eqcomd 2145 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -𝑒-𝑒𝐴)
301, 29syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -𝑒-𝑒𝐴)
31 xrminmax 11046 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ))
323, 5, 31syl2anc 408 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ))
3330, 32oveq12d 5792 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (-𝑒-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
3410, 27, 333eqtr4d 2182 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  {cpr 3528  (class class class)co 5774  supcsup 6869  infcinf 6870  *cxr 7811   < clt 7812  -𝑒cxne 9568   +𝑒 cxad 9569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-xneg 9571  df-xadd 9572  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator