Theorem xrminadd 12067

Description: Distributing addition over minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrminadd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +e 𝐵), (𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +e inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem xrminadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1028	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	xnegcld 10275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e𝐴 ∈ ℝ*)
3		simp2 1029	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	3	xnegcld 10275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e𝐵 ∈ ℝ*)
5		simp3 1030	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
6	5	xnegcld 10275	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e𝐶 ∈ ℝ*)
7		xrmaxcl 12044	. . . 4 ⊢ ((-e𝐵 ∈ ℝ* ∧ -e𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
8	4, 6, 7	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9		xnegdi 10288	. . 3 ⊢ ((-e𝐴 ∈ ℝ* ∧ sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → -e(-e𝐴 +e sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )) = (-e-e𝐴 +e -esup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )))
10	2, 8, 9	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e(-e𝐴 +e sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )) = (-e-e𝐴 +e -esup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )))
11	1, 3	xaddcld 10304	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ*)
12	1, 5	xaddcld 10304	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e 𝐶) ∈ ℝ*)
13		xrminmax 12057	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +e 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +e 𝐶) ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +e 𝐵), (𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ) = -esup({-e(𝐴 +e 𝐵), -e(𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ))
14	11, 12, 13	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +e 𝐵), (𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ) = -esup({-e(𝐴 +e 𝐵), -e(𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ))
15		xnegdi 10288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = (-e𝐴 +e -e𝐵))
16	1, 3, 15	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐵) = (-e𝐴 +e -e𝐵))
17		xnegdi 10288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐶) = (-e𝐴 +e -e𝐶))
18	1, 5, 17	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -e(𝐴 +e 𝐶) = (-e𝐴 +e -e𝐶))
19	16, 18	preq12d 3796	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → {-e(𝐴 +e 𝐵), -e(𝐴 +e 𝐶)} = {(-e𝐴 +e -e𝐵), (-e𝐴 +e -e𝐶)})
20	19	supeq1d 7334	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-e(𝐴 +e 𝐵), -e(𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ) = sup({(-e𝐴 +e -e𝐵), (-e𝐴 +e -e𝐶)}, ℝ*, < ))
21		xnegeq 10247	. . . 4 ⊢ (sup({-e(𝐴 +e 𝐵), -e(𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ) = sup({(-e𝐴 +e -e𝐵), (-e𝐴 +e -e𝐶)}, ℝ*, < ) → -esup({-e(𝐴 +e 𝐵), -e(𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ) = -esup({(-e𝐴 +e -e𝐵), (-e𝐴 +e -e𝐶)}, ℝ*, < ))
22	20, 21	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -esup({-e(𝐴 +e 𝐵), -e(𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ) = -esup({(-e𝐴 +e -e𝐵), (-e𝐴 +e -e𝐶)}, ℝ*, < ))
23		xrmaxadd 12053	. . . . 5 ⊢ ((-e𝐴 ∈ ℝ* ∧ -e𝐵 ∈ ℝ* ∧ -e𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(-e𝐴 +e -e𝐵), (-e𝐴 +e -e𝐶)}, ℝ*, < ) = (-e𝐴 +e sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )))
24	2, 4, 6, 23	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(-e𝐴 +e -e𝐵), (-e𝐴 +e -e𝐶)}, ℝ*, < ) = (-e𝐴 +e sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )))
25		xnegeq 10247	. . . 4 ⊢ (sup({(-e𝐴 +e -e𝐵), (-e𝐴 +e -e𝐶)}, ℝ*, < ) = (-e𝐴 +e sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )) → -esup({(-e𝐴 +e -e𝐵), (-e𝐴 +e -e𝐶)}, ℝ*, < ) = -e(-e𝐴 +e sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )))
26	24, 25	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → -esup({(-e𝐴 +e -e𝐵), (-e𝐴 +e -e𝐶)}, ℝ*, < ) = -e(-e𝐴 +e sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )))
27	14, 22, 26	3eqtrd 2275	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +e 𝐵), (𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ) = -e(-e𝐴 +e sup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )))
28		xnegneg 10253	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → -e-e𝐴 = 𝐴)
29	28	eqcomd 2244	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 = -e-e𝐴)
30	1, 29	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -e-e𝐴)
31		xrminmax 12057	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) = -esup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < ))
32	3, 5, 31	syl2anc 415	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) = -esup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < ))
33	30, 32	oveq12d 6106	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +e inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (-e-e𝐴 +e -esup({-e𝐵, -e𝐶}, ℝ*, < )))
34	10, 27, 33	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +e 𝐵), (𝐴 +e 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +e inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cpr 3710  (class class class)co 6088  supcsup 7329  infcinf 7330  ℝ^*cxr 8366   < clt 8367  -_ecxne 10189   +_e cxad 10190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788

This theorem is used by: (None)