ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminadd GIF version

Theorem xrminadd 11285
Description: Distributing addition over minimum. (Contributed by Jim Kingdon, 10-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminadd ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem xrminadd
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
21xnegcld 9857 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
3 simp2 998 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
43xnegcld 9857 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
5 simp3 999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
65xnegcld 9857 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐶 ∈ ℝ*)
7 xrmaxcl 11262 . . . 4 ((-𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
84, 6, 7syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9 xnegdi 9870 . . 3 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → -𝑒(-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )) = (-𝑒-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
102, 8, 9syl2anc 411 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )) = (-𝑒-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
111, 3xaddcld 9886 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
121, 5xaddcld 9886 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
13 xrminmax 11275 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ))
1411, 12, 13syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ))
15 xnegdi 9870 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
161, 3, 15syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵))
17 xnegdi 9870 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶))
181, 5, 17syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶) = (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶))
1916, 18preq12d 3679 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → {-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)} = {(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)})
2019supeq1d 6988 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ))
21 xnegeq 9829 . . . 4 (sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) → -𝑒sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ))
2220, 21syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒sup({-𝑒(𝐴 +𝑒 𝐵), -𝑒(𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ))
23 xrmaxadd 11271 . . . . 5 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) = (-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
242, 4, 6, 23syl3anc 1238 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) = (-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
25 xnegeq 9829 . . . 4 (sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) = (-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )) → -𝑒sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒(-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
2624, 25syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒sup({(-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐵), (-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒(-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
2714, 22, 263eqtrd 2214 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = -𝑒(-𝑒𝐴 +𝑒 sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
28 xnegneg 9835 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
2928eqcomd 2183 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 = -𝑒-𝑒𝐴)
301, 29syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 = -𝑒-𝑒𝐴)
31 xrminmax 11275 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ))
323, 5, 31syl2anc 411 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < ))
3330, 32oveq12d 5895 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (-𝑒-𝑒𝐴 +𝑒 -𝑒sup({-𝑒𝐵, -𝑒𝐶}, ℝ*, < )))
3410, 27, 333eqtr4d 2220 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → inf({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 inf({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  {cpr 3595  (class class class)co 5877  supcsup 6983  infcinf 6984  *cxr 7993   < clt 7994  -𝑒cxne 9771   +𝑒 cxad 9772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator