Theorem xrminrecl 11669

Description: The minimum of two real numbers is the same when taken as extended reals or as reals. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrminrecl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))

Proof of Theorem xrminrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexneg 9982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
2	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		rexneg 9982	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5	2, 4	preq12d 3723	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} = {-𝐴, -𝐵})
6	5	supeq1d 7110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ))
7		renegcl 8363	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
8		renegcl 8363	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
9		xrmaxrecl 11651	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
11	6, 10	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
12		xnegeq 9979	. . . 4 ⊢ (sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
14		maxcl 11606	. . . . 5 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	7, 8, 14	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16		rexneg 9982	. . . 4 ⊢ (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ → -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
18	13, 17	eqtrd 2239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
19		rexr 8148	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
20		rexr 8148	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
21		xrminmax 11661	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
22	19, 20, 21	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
23		minmax 11626	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
24	18, 22, 23	3eqtr4d 2249	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {cpr 3639  supcsup 7105  infcinf 7106  ℝcr 7954  ℝ^*cxr 8136   < clt 8137  -cneg 8274  -_𝑒cxne 9921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074  ax-caucvg 8075

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-isom 5294  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-sup 7107  df-inf 7108  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-rp 9806  df-xneg 9924  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11672  qtopbas  15079