Theorem xrminrecl 11294

Description: The minimum of two real numbers is the same when taken as extended reals or as reals. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrminrecl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))

Proof of Theorem xrminrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexneg 9843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
2	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		rexneg 9843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5	2, 4	preq12d 3689	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} = {-𝐴, -𝐵})
6	5	supeq1d 6999	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ))
7		renegcl 8231	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
8		renegcl 8231	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
9		xrmaxrecl 11276	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
11	6, 10	eqtrd 2220	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
12		xnegeq 9840	. . . 4 ⊢ (sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
14		maxcl 11232	. . . . 5 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	7, 8, 14	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16		rexneg 9843	. . . 4 ⊢ (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ → -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
18	13, 17	eqtrd 2220	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
19		rexr 8016	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
20		rexr 8016	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
21		xrminmax 11286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
22	19, 20, 21	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
23		minmax 11251	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
24	18, 22, 23	3eqtr4d 2230	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  {cpr 3605  supcsup 6994  infcinf 6995  ℝcr 7823  ℝ^*cxr 8004   < clt 8005  -cneg 8142  -_𝑒cxne 9782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11297  qtopbas  14293