ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminrecl GIF version

Theorem xrminrecl 11300
Description: The minimum of two real numbers is the same when taken as extended reals or as reals. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminrecl ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))

Proof of Theorem xrminrecl
StepHypRef Expression
1 rexneg 9849 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
21adantr 276 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 rexneg 9849 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
43adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
52, 4preq12d 3692 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} = {-𝐴, -𝐵})
65supeq1d 7005 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ))
7 renegcl 8237 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
8 renegcl 8237 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
9 xrmaxrecl 11282 . . . . . 6 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
107, 8, 9syl2an 289 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
116, 10eqtrd 2222 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
12 xnegeq 9846 . . . 4 (sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
1311, 12syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
14 maxcl 11238 . . . . 5 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
157, 8, 14syl2an 289 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16 rexneg 9849 . . . 4 (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ → -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
1715, 16syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
1813, 17eqtrd 2222 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
19 rexr 8022 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
20 rexr 8022 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
21 xrminmax 11292 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
2219, 20, 21syl2an 289 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
23 minmax 11257 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
2418, 22, 233eqtr4d 2232 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  {cpr 3608  supcsup 7000  infcinf 7001  cr 7829  *cxr 8010   < clt 8011  -cneg 8148  -𝑒cxne 9788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-sup 7002  df-inf 7003  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-rp 9673  df-xneg 9791  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027
This theorem is referenced by:  xrbdtri  11303  qtopbas  14425
  Copyright terms: Public domain W3C validator