Theorem xrminrecl 11584

Description: The minimum of two real numbers is the same when taken as extended reals or as reals. (Contributed by Jim Kingdon, 18-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrminrecl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))

Proof of Theorem xrminrecl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexneg 9952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
2	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3		rexneg 9952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝑒𝐵 = -𝐵)
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
5	2, 4	preq12d 3718	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} = {-𝐴, -𝐵})
6	5	supeq1d 7089	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ))
7		renegcl 8333	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
8		renegcl 8333	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
9		xrmaxrecl 11566	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
10	7, 8, 9	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
11	6, 10	eqtrd 2238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
12		xnegeq 9949	. . . 4 ⊢ (sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
13	11, 12	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
14		maxcl 11521	. . . . 5 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
15	7, 8, 14	syl2an 289	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
16		rexneg 9952	. . . 4 ⊢ (sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ → -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
18	13, 17	eqtrd 2238	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
19		rexr 8118	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
20		rexr 8118	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
21		xrminmax 11576	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
22	19, 20, 21	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
23		minmax 11541	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
24	18, 22, 23	3eqtr4d 2248	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  {cpr 3634  supcsup 7084  infcinf 7085  ℝcr 7924  ℝ^*cxr 8106   < clt 8107  -cneg 8244  -_𝑒cxne 9891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-xneg 9894  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310

This theorem is referenced by:  xrbdtri  11587  qtopbas  14994