Theorem opeq2 3868

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Proof of Theorem opeq2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2294	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
2	1	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V)))
3		eqidd 2232	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐶} = {𝐶})
4		preq2 3753	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐶, 𝐴} = {𝐶, 𝐵})
5	3, 4	preq12d 3760	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}} = {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}})
6	5	eleq2d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}} ↔ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}}))
7	2, 6	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}}) ↔ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}})))
8		df-3an 1007	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}}) ↔ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}}))
9		df-3an 1007	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}}) ↔ ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}}))
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}}) ↔ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}})))
11	10	abbidv 2350	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}})} = {𝑥 ∣ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}})})
12		df-op 3682	. 2 ⊢ ⟨𝐶, 𝐴⟩ = {𝑥 ∣ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐴}})}
13		df-op 3682	. 2 ⊢ ⟨𝐶, 𝐵⟩ = {𝑥 ∣ (𝐶 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐶}, {𝐶, 𝐵}})}
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2289	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐶, 𝐴⟩ = ⟨𝐶, 𝐵⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {cab 2217  Vcvv 2803  {csn 3673  {cpr 3674  ⟨cop 3676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682

This theorem is referenced by:  opeq12  3869  opeq2i  3871  opeq2d  3874  oteq2  3877  oteq3  3878  breq2  4097  cbvopab2  4168  cbvopab2v  4171  opthg  4336  eqvinop  4341  opelopabsb  4360  opelxp  4761  opabid2  4867  elrn2g  4926  opeldm  4940  opeldmg  4942  elrn2  4980  opelresg  5026  iss  5065  elimasng  5111  issref  5126  dmsnopg  5215  cnvsng  5229  elxp4  5231  elxp5  5232  dffun5r  5345  funopg  5367  f1osng  5635  tz6.12f  5677  fsn  5827  fsng  5828  fvsng  5858  oveq2  6036  cbvoprab2  6104  ovg  6171  opabex3d  6292  opabex3  6293  op1stg  6322  op2ndg  6323  oprssdmm  6343  op1steq  6351  dfoprab4f  6365  elmpom  6412  tfrlemibxssdm  6536  tfr1onlembxssdm  6552  tfrcllembxssdm  6565  elixpsn  6947  ixpsnf1o  6948  mapsnen  7029  xpsnen  7048  xpassen  7057  xpf1o  7073  djulclr  7291  djurclr  7292  djulcl  7293  djurcl  7294  djulclb  7297  inl11  7307  djuss  7312  1stinl  7316  2ndinl  7317  1stinr  7318  2ndinr  7319  elreal  8091  ax1rid  8140  fseq1p1m1  10374  pfxval  11304  swrdccatin1  11355  swrdccat3blem  11369  imasaddfnlemg  13460  cnmpt21  15085  djucllem  16501