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Theorem ring1 13234
Description: The (smallest) structure representing a zero ring. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ring1.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
Assertion
Ref Expression
ring1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)

Proof of Theorem ring1
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snexg 4184 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {𝑍} ∈ V)
2 opexg 4228 . . . . . . . . . . 11 ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V)
32anidms 397 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V)
4 opexg 4228 . . . . . . . . . 10 ((βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ© ∈ V)
53, 4mpancom 422 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ© ∈ V)
6 snexg 4184 . . . . . . . . 9 (βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ© ∈ V β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V)
75, 6syl 14 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V)
8 ring1.m . . . . . . . . 9 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
98rngbaseg 12593 . . . . . . . 8 (({𝑍} ∈ V ∧ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V ∧ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V) β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€))
101, 7, 7, 9syl3anc 1238 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜π‘€))
1110opeq2d 3785 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩ = ⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘€)⟩)
128rngplusgg 12594 . . . . . . . 8 (({𝑍} ∈ V ∧ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V ∧ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V) β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜π‘€))
131, 7, 7, 12syl3anc 1238 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜π‘€))
1413opeq2d 3785 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩ = ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘€)⟩)
1511, 14preq12d 3677 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘€)⟩})
16 eqid 2177 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}
1716grp1 12975 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Grp)
1815, 17eqeltrrd 2255 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘€)⟩} ∈ Grp)
19 basendxnn 12517 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜ndx) ∈ β„•
20 opexg 4228 . . . . . . . 8 (((Baseβ€˜ndx) ∈ β„• ∧ {𝑍} ∈ V) β†’ ⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩ ∈ V)
2119, 1, 20sylancr 414 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩ ∈ V)
22 plusgslid 12570 . . . . . . . . 9 (+g = Slot (+gβ€˜ndx) ∧ (+gβ€˜ndx) ∈ β„•)
2322simpri 113 . . . . . . . 8 (+gβ€˜ndx) ∈ β„•
24 opexg 4228 . . . . . . . 8 (((+gβ€˜ndx) ∈ β„• ∧ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V) β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩ ∈ V)
2523, 7, 24sylancr 414 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩ ∈ V)
26 mulrslid 12589 . . . . . . . . 9 (.r = Slot (.rβ€˜ndx) ∧ (.rβ€˜ndx) ∈ β„•)
2726simpri 113 . . . . . . . 8 (.rβ€˜ndx) ∈ β„•
28 opexg 4228 . . . . . . . 8 (((.rβ€˜ndx) ∈ β„• ∧ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V) β†’ ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩ ∈ V)
2927, 7, 28sylancr 414 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩ ∈ V)
30 tpexg 4444 . . . . . . 7 ((⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩ ∈ V ∧ ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩ ∈ V ∧ ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩ ∈ V) β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ V)
3121, 25, 29, 30syl3anc 1238 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ V)
328, 31eqeltrid 2264 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ V)
33 eqid 2177 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
34 eqid 2177 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
35 eqid 2177 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘€)⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘€)⟩}
3633, 34, 35grppropstrg 12894 . . . . 5 (𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 ∈ Grp ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘€)⟩} ∈ Grp))
3732, 36syl 14 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 ∈ Grp ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), (Baseβ€˜π‘€)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (+gβ€˜π‘€)⟩} ∈ Grp))
3818, 37mpbird 167 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Grp)
3916mnd1 12846 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Mnd)
40 eqidd 2178 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)))
4116grpbaseg 12584 . . . . . . 7 (({𝑍} ∈ V ∧ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V) β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
421, 7, 41syl2anc 411 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {𝑍} = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
43 eqid 2177 . . . . . . . 8 (mulGrpβ€˜π‘€) = (mulGrpβ€˜π‘€)
4443, 33mgpbasg 13134 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)))
4532, 44syl 14 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)))
4610, 42, 453eqtr3rd 2219 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
478rngmulrg 12595 . . . . . . . 8 (({𝑍} ∈ V ∧ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V ∧ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V) β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (.rβ€˜π‘€))
481, 7, 7, 47syl3anc 1238 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (.rβ€˜π‘€))
4916grpplusgg 12585 . . . . . . . 8 (({𝑍} ∈ V ∧ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} ∈ V) β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
501, 7, 49syl2anc 411 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
51 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘€) = (.rβ€˜π‘€)
5243, 51mgpplusgg 13132 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ V β†’ (.rβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)))
5332, 52syl 14 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (.rβ€˜π‘€) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)))
5448, 50, 533eqtr3rd 2219 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩}))
5554oveqdr 5902 . . . . 5 ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€)))) β†’ (π‘₯(+gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘€))𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩})𝑦))
5640, 46, 55mndpropd 12840 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ↔ {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}⟩} ∈ Mnd))
5739, 56mpbird 167 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd)
58 df-ov 5877 . . . . . . 7 (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
59 fvsng 5712 . . . . . . . 8 ((βŸ¨π‘, π‘βŸ© ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) β†’ ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = 𝑍)
603, 59mpancom 422 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ({βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}β€˜βŸ¨π‘, π‘βŸ©) = 𝑍)
6158, 60eqtrid 2222 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = 𝑍)
6261oveq2d 5890 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6361, 61oveq12d 5892 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6462, 63eqtr4d 2213 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
6561oveq1d 5889 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
6665, 63eqtr4d 2213 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
67 oveq1 5881 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
68 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏))
69 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
7068, 69oveq12d 5892 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
7167, 70eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
7268oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
7369oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝑍 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
7472, 73eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
7571, 74anbi12d 473 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
76752ralbidv 2501 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑍 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
7776ralsng 3632 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
78 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
7978oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
80 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
8180oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
8279, 81eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
8380oveq1d 5889 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))
8478oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))
8583, 84eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
8682, 85anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
8786ralbidv 2477 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑍 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
8887ralsng 3632 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
89 oveq2 5882 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
9089oveq2d 5890 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 β†’ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
9189oveq2d 5890 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
9290, 91eqeq12d 2192 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))))
93 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))
9489, 89oveq12d 5892 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑍 β†’ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))
9593, 94eqeq12d 2192 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍))))
9692, 95anbi12d 473 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑍 β†’ (((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
9796ralsng 3632 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
9877, 88, 973bitrd 214 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)) ∧ ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍) = ((𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑍{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑍)))))
9964, 66, 98mpbir2and 944 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))))
10038, 57, 993jca 1177 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))))
101 eqidd 2178 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ π‘Ž = π‘Ž)
10213oveqd 5891 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐))
10348, 101, 102oveq123d 5895 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = (π‘Ž(.rβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐)))
10448oveqd 5891 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏))
10548oveqd 5891 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐))
10613, 104, 105oveq123d 5895 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)))
107103, 106eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ (π‘Ž(.rβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐))))
10813oveqd 5891 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏) = (π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏))
109 eqidd 2178 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑐 = 𝑐)
11048, 108, 109oveq123d 5895 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)(.rβ€˜π‘€)𝑐))
11148oveqd 5891 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = (𝑏(.rβ€˜π‘€)𝑐))
11213, 105, 111oveq123d 5895 . . . . . . . . 9 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)(+gβ€˜π‘€)(𝑏(.rβ€˜π‘€)𝑐)))
113110, 112eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ↔ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)(.rβ€˜π‘€)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)(+gβ€˜π‘€)(𝑏(.rβ€˜π‘€)𝑐))))
114107, 113anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)(.rβ€˜π‘€)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)(+gβ€˜π‘€)(𝑏(.rβ€˜π‘€)𝑐)))))
11510, 114raleqbidv 2684 . . . . . 6 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘€)((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)(.rβ€˜π‘€)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)(+gβ€˜π‘€)(𝑏(.rβ€˜π‘€)𝑐)))))
11610, 115raleqbidv 2684 . . . . 5 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘€)((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)(.rβ€˜π‘€)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)(+gβ€˜π‘€)(𝑏(.rβ€˜π‘€)𝑐)))))
11710, 116raleqbidv 2684 . . . 4 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘€)((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)(.rβ€˜π‘€)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)(+gβ€˜π‘€)(𝑏(.rβ€˜π‘€)𝑐)))))
1181173anbi3d 1318 . . 3 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))) ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘€)((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)(.rβ€˜π‘€)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)(+gβ€˜π‘€)(𝑏(.rβ€˜π‘€)𝑐))))))
11933, 43, 34, 51isring 13181 . . 3 (𝑀 ∈ Ring ↔ (𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜π‘€)((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)(𝑏(+gβ€˜π‘€)𝑐)) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑏)(+gβ€˜π‘€)(π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)) ∧ ((π‘Ž(+gβ€˜π‘€)𝑏)(.rβ€˜π‘€)𝑐) = ((π‘Ž(.rβ€˜π‘€)𝑐)(+gβ€˜π‘€)(𝑏(.rβ€˜π‘€)𝑐)))))
120118, 119bitr4di 198 . 2 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 ∈ Grp ∧ (mulGrpβ€˜π‘€) ∈ Mnd ∧ βˆ€π‘Ž ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍}βˆ€π‘ ∈ {𝑍} ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)) ∧ ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑏){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐) = ((π‘Ž{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐){βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©} (𝑏{βŸ¨βŸ¨π‘, π‘βŸ©, π‘βŸ©}𝑐)))) ↔ 𝑀 ∈ Ring))
121100, 120mpbid 147 1 (𝑍 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Ring)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  Vcvv 2737  {csn 3592  {cpr 3593  {ctp 3594  βŸ¨cop 3595  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  β„•cn 8918  ndxcnx 12458  Slot cslot 12460  Basecbs 12461  +gcplusg 12535  .rcmulr 12536  Mndcmnd 12816  Grpcgrp 12876  mulGrpcmgp 13128  Ringcrg 13177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-tp 3600  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-fz 10008  df-struct 12463  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-sets 12468  df-plusg 12548  df-mulr 12549  df-0g 12706  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817  df-grp 12879  df-mgp 13129  df-ring 13179
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