Theorem opeq1 3809

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
2	1	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
3		sneq 3634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
4		preq1 3700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})
5	3, 4	preq12d 3708	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} = {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})
6	5	eleq2d 2266	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} ↔ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
7	2, 6	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
8		df-3an 982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}))
9		df-3an 982	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
11	10	abbidv 2314	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})} = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})})
12		df-op 3632	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})}
13		df-op 3632	. 2 ⊢ ⟨𝐵, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})}
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2254	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  Vcvv 2763  {csn 3623  {cpr 3624  ⟨cop 3626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632

This theorem is referenced by:  opeq12  3811  opeq1i  3812  opeq1d  3815  oteq1  3818  breq1  4037  cbvopab1  4107  cbvopab1s  4109  opthg  4272  eqvinop  4277  opelopabsb  4295  opelxp  4694  elvvv  4727  opabid2  4798  opeliunxp2  4807  elsnres  4984  elimasng  5038  rnxpid  5105  dmsnopg  5142  cnvsng  5156  elxp4  5158  elxp5  5159  funopg  5293  f1osng  5546  dmfco  5630  fvelrn  5694  fsng  5736  fvsng  5759  funfvima3  5797  oveq1  5930  oprabid  5955  dfoprab2  5971  cbvoprab1  5996  opabex3d  6180  opabex3  6181  op1stg  6210  op2ndg  6211  oprssdmm  6231  dfoprab4f  6253  cnvoprab  6294  opeliunxp2f  6298  tfr1onlemaccex  6408  tfrcllemaccex  6421  elixpsn  6796  fundmen  6867  xpsnen  6882  xpassen  6891  xpf1o  6907  ltexnqq  7478  archnqq  7487  prarloclemarch2  7489  prarloclemlo  7564  prarloclem3  7567  prarloclem5  7570  caucvgprlemnkj  7736  caucvgprlemnbj  7737  caucvgprlemm  7738  caucvgprlemdisj  7744  caucvgprlemloc  7745  caucvgprlemcl  7746  caucvgprlemladdfu  7747  caucvgprlemladdrl  7748  caucvgprlem1  7749  caucvgprlem2  7750  caucvgpr  7752  caucvgprprlemell  7755  caucvgprprlemelu  7756  caucvgprprlemcbv  7757  caucvgprprlemval  7758  caucvgprprlemnkeqj  7760  caucvgprprlemmu  7765  caucvgprprlemopl  7767  caucvgprprlemlol  7768  caucvgprprlemopu  7769  caucvgprprlemloc  7773  caucvgprprlemclphr  7775  caucvgprprlemexbt  7776  caucvgprprlem1  7779  caucvgprprlem2  7780  caucvgsr  7872  suplocsrlemb  7876  suplocsrlempr  7877  suplocsrlem  7878  suplocsr  7879  elrealeu  7899  pitonn  7918  nntopi  7964  axcaucvglemval  7967  axcaucvg  7970  axpre-suploclemres  7971  fsum2dlemstep  11602  fprod2dlemstep  11790  imasaddfnlemg  12983  cnmpt21  14553