Theorem opeq1 3758

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
2	1	anbi1d 461	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
3		sneq 3587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
4		preq1 3653	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})
5	3, 4	preq12d 3661	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} = {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})
6	5	eleq2d 2236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} ↔ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
7	2, 6	anbi12d 465	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
8		df-3an 970	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}))
9		df-3an 970	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
10	7, 8, 9	3bitr4g 222	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
11	10	abbidv 2284	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})} = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})})
12		df-op 3585	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})}
13		df-op 3585	. 2 ⊢ ⟨𝐵, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})}
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2224	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {cab 2151  Vcvv 2726  {csn 3576  {cpr 3577  ⟨cop 3579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585

This theorem is referenced by:  opeq12  3760  opeq1i  3761  opeq1d  3764  oteq1  3767  breq1  3985  cbvopab1  4055  cbvopab1s  4057  opthg  4216  eqvinop  4221  opelopabsb  4238  opelxp  4634  elvvv  4667  opabid2  4735  opeliunxp2  4744  elsnres  4921  elimasng  4972  rnxpid  5038  dmsnopg  5075  cnvsng  5089  elxp4  5091  elxp5  5092  funopg  5222  f1osng  5473  dmfco  5554  fvelrn  5616  fsng  5658  fvsng  5681  funfvima3  5718  oveq1  5849  oprabid  5874  dfoprab2  5889  cbvoprab1  5914  opabex3d  6089  opabex3  6090  op1stg  6118  op2ndg  6119  oprssdmm  6139  dfoprab4f  6161  cnvoprab  6202  opeliunxp2f  6206  tfr1onlemaccex  6316  tfrcllemaccex  6329  elixpsn  6701  fundmen  6772  xpsnen  6787  xpassen  6796  xpf1o  6810  ltexnqq  7349  archnqq  7358  prarloclemarch2  7360  prarloclemlo  7435  prarloclem3  7438  prarloclem5  7441  caucvgprlemnkj  7607  caucvgprlemnbj  7608  caucvgprlemm  7609  caucvgprlemdisj  7615  caucvgprlemloc  7616  caucvgprlemcl  7617  caucvgprlemladdfu  7618  caucvgprlemladdrl  7619  caucvgprlem1  7620  caucvgprlem2  7621  caucvgpr  7623  caucvgprprlemell  7626  caucvgprprlemelu  7627  caucvgprprlemcbv  7628  caucvgprprlemval  7629  caucvgprprlemnkeqj  7631  caucvgprprlemmu  7636  caucvgprprlemopl  7638  caucvgprprlemlol  7639  caucvgprprlemopu  7640  caucvgprprlemloc  7644  caucvgprprlemclphr  7646  caucvgprprlemexbt  7647  caucvgprprlem1  7650  caucvgprprlem2  7651  caucvgsr  7743  suplocsrlemb  7747  suplocsrlempr  7748  suplocsrlem  7749  suplocsr  7750  elrealeu  7770  pitonn  7789  nntopi  7835  axcaucvglemval  7838  axcaucvg  7841  axpre-suploclemres  7842  fsum2dlemstep  11375  fprod2dlemstep  11563  cnmpt21  12931