Theorem opeq1 3899

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
2	1	anbi1d 469	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
3		sneq 3716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
4		preq1 3784	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})
5	3, 4	preq12d 3792	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} = {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})
6	5	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} ↔ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
7	2, 6	anbi12d 477	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
8		df-3an 1011	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}))
9		df-3an 1011	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
11	10	abbidv 2358	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})} = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})})
12		df-op 3714	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})}
13		df-op 3714	. 2 ⊢ ⟨𝐵, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})}
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  Vcvv 2821  {csn 3705  {cpr 3706  ⟨cop 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714

This theorem is referenced by:  opeq12  3901  opeq1i  3902  opeq1d  3905  oteq1  3908  breq1  4128  cbvopab1  4199  cbvopab1s  4201  opthg  4373  eqvinop  4378  opelopabsb  4397  opelxp  4799  elvvv  4833  opabid2  4906  opeliunxp2  4915  elsnres  5095  elimasng  5150  rnxpid  5217  dmsnopg  5254  cnvsng  5268  elxp4  5270  elxp5  5271  funopg  5406  f1osng  5677  dmfco  5767  fvelrn  5830  fsng  5872  fvsng  5902  funfvima3  5942  oveq1  6082  oprabid  6107  dfoprab2  6125  cbvoprab1  6150  opabex3d  6340  opabex3  6341  op1stg  6374  op2ndg  6375  oprssdmm  6395  dfoprab4f  6417  cnvoprab  6460  opeliunxp2f  6499  tfr1onlemaccex  6609  tfrcllemaccex  6622  elixpsn  7007  fundmen  7084  xpsnen  7109  xpassen  7118  xpf1o  7134  ltexnqq  7765  archnqq  7774  prarloclemarch2  7776  prarloclemlo  7851  prarloclem3  7854  prarloclem5  7857  caucvgprlemnkj  8023  caucvgprlemnbj  8024  caucvgprlemm  8025  caucvgprlemdisj  8031  caucvgprlemloc  8032  caucvgprlemcl  8033  caucvgprlemladdfu  8034  caucvgprlemladdrl  8035  caucvgprlem1  8036  caucvgprlem2  8037  caucvgpr  8039  caucvgprprlemell  8042  caucvgprprlemelu  8043  caucvgprprlemcbv  8044  caucvgprprlemval  8045  caucvgprprlemnkeqj  8047  caucvgprprlemmu  8052  caucvgprprlemopl  8054  caucvgprprlemlol  8055  caucvgprprlemopu  8056  caucvgprprlemloc  8060  caucvgprprlemclphr  8062  caucvgprprlemexbt  8063  caucvgprprlem1  8066  caucvgprprlem2  8067  caucvgsr  8159  suplocsrlemb  8163  suplocsrlempr  8164  suplocsrlem  8165  suplocsr  8166  elrealeu  8186  pitonn  8205  nntopi  8251  axcaucvglemval  8254  axcaucvg  8257  axpre-suploclemres  8258  swrdccatin1  11475  swrdccat3blem  11489  fsum2dlemstep  12179  fprod2dlemstep  12367  imasaddfnlemg  13612  cnmpt21  15315