Theorem opeq1 3904

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2301	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
2	1	anbi1d 469	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
3		sneq 3720	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
4		preq1 3788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})
5	3, 4	preq12d 3796	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} = {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})
6	5	eleq2d 2308	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} ↔ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
7	2, 6	anbi12d 477	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
8		df-3an 1011	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}))
9		df-3an 1011	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
11	10	abbidv 2358	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})} = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})})
12		df-op 3718	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})}
13		df-op 3718	. 2 ⊢ ⟨𝐵, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})}
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224  Vcvv 2821  {csn 3709  {cpr 3710  ⟨cop 3712

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718

This theorem is used by:  opeq12  3906  opeq1i  3907  opeq1d  3910  oteq1  3913  breq1  4133  cbvopab1  4204  cbvopab1s  4206  opthg  4378  eqvinop  4383  opelopabsb  4402  opelxp  4804  elvvv  4838  opabid2  4911  opeliunxp2  4920  elsnres  5100  elimasng  5155  rnxpid  5222  dmsnopg  5259  cnvsng  5273  elxp4  5275  elxp5  5276  funopg  5411  f1osng  5682  dmfco  5773  fvelrn  5839  fsng  5881  fvsng  5911  funfvima3  5952  oveq1  6092  oprabid  6117  dfoprab2  6135  cbvoprab1  6160  opabex3d  6350  opabex3  6351  op1stg  6384  op2ndg  6385  oprssdmm  6405  dfoprab4f  6427  cnvoprab  6470  opeliunxp2f  6509  tfr1onlemaccex  6619  tfrcllemaccex  6632  elixpsn  7017  fundmen  7094  xpsnen  7119  xpassen  7128  xpf1o  7144  ltexnqq  7776  archnqq  7785  prarloclemarch2  7787  prarloclemlo  7862  prarloclem3  7865  prarloclem5  7868  caucvgprlemnkj  8034  caucvgprlemnbj  8035  caucvgprlemm  8036  caucvgprlemdisj  8042  caucvgprlemloc  8043  caucvgprlemcl  8044  caucvgprlemladdfu  8045  caucvgprlemladdrl  8046  caucvgprlem1  8047  caucvgprlem2  8048  caucvgpr  8050  caucvgprprlemell  8053  caucvgprprlemelu  8054  caucvgprprlemcbv  8055  caucvgprprlemval  8056  caucvgprprlemnkeqj  8058  caucvgprprlemmu  8063  caucvgprprlemopl  8065  caucvgprprlemlol  8066  caucvgprprlemopu  8067  caucvgprprlemloc  8071  caucvgprprlemclphr  8073  caucvgprprlemexbt  8074  caucvgprprlem1  8077  caucvgprprlem2  8078  caucvgsr  8170  suplocsrlemb  8174  suplocsrlempr  8175  suplocsrlem  8176  suplocsr  8177  elrealeu  8197  pitonn  8216  nntopi  8262  axcaucvglemval  8265  axcaucvg  8268  axpre-suploclemres  8269  swrdccatin1  11513  swrdccat3blem  11527  fsum2dlemstep  12220  fprod2dlemstep  12408  imasaddfnlemg  13688  cnmpt21  15483