Theorem opeq1 3809

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Proof of Theorem opeq1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
2	1	anbi1d 465	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V)))
3		sneq 3634	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴} = {𝐵})
4		preq1 3700	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐶} = {𝐵, 𝐶})
5	3, 4	preq12d 3708	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} = {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})
6	5	eleq2d 2266	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}} ↔ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
7	2, 6	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
8		df-3an 982	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}))
9		df-3an 982	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}) ↔ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}}))
10	7, 8, 9	3bitr4g 223	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}}) ↔ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})))
11	10	abbidv 2314	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})} = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})})
12		df-op 3632	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐴}, {𝐴, 𝐶}})}
13		df-op 3632	. 2 ⊢ ⟨𝐵, 𝐶⟩ = {𝑥 ∣ (𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ {{𝐵}, {𝐵, 𝐶}})}
14	11, 12, 13	3eqtr4g 2254	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ⟨𝐴, 𝐶⟩ = ⟨𝐵, 𝐶⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  Vcvv 2763  {csn 3623  {cpr 3624  ⟨cop 3626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632

This theorem is referenced by:  opeq12  3811  opeq1i  3812  opeq1d  3815  oteq1  3818  breq1  4037  cbvopab1  4107  cbvopab1s  4109  opthg  4272  eqvinop  4277  opelopabsb  4295  opelxp  4694  elvvv  4727  opabid2  4798  opeliunxp2  4807  elsnres  4984  elimasng  5038  rnxpid  5105  dmsnopg  5142  cnvsng  5156  elxp4  5158  elxp5  5159  funopg  5293  f1osng  5548  dmfco  5632  fvelrn  5696  fsng  5738  fvsng  5761  funfvima3  5799  oveq1  5932  oprabid  5957  dfoprab2  5973  cbvoprab1  5998  opabex3d  6187  opabex3  6188  op1stg  6217  op2ndg  6218  oprssdmm  6238  dfoprab4f  6260  cnvoprab  6301  opeliunxp2f  6305  tfr1onlemaccex  6415  tfrcllemaccex  6428  elixpsn  6803  fundmen  6874  xpsnen  6889  xpassen  6898  xpf1o  6914  ltexnqq  7492  archnqq  7501  prarloclemarch2  7503  prarloclemlo  7578  prarloclem3  7581  prarloclem5  7584  caucvgprlemnkj  7750  caucvgprlemnbj  7751  caucvgprlemm  7752  caucvgprlemdisj  7758  caucvgprlemloc  7759  caucvgprlemcl  7760  caucvgprlemladdfu  7761  caucvgprlemladdrl  7762  caucvgprlem1  7763  caucvgprlem2  7764  caucvgpr  7766  caucvgprprlemell  7769  caucvgprprlemelu  7770  caucvgprprlemcbv  7771  caucvgprprlemval  7772  caucvgprprlemnkeqj  7774  caucvgprprlemmu  7779  caucvgprprlemopl  7781  caucvgprprlemlol  7782  caucvgprprlemopu  7783  caucvgprprlemloc  7787  caucvgprprlemclphr  7789  caucvgprprlemexbt  7790  caucvgprprlem1  7793  caucvgprprlem2  7794  caucvgsr  7886  suplocsrlemb  7890  suplocsrlempr  7891  suplocsrlem  7892  suplocsr  7893  elrealeu  7913  pitonn  7932  nntopi  7978  axcaucvglemval  7981  axcaucvg  7984  axpre-suploclemres  7985  fsum2dlemstep  11616  fprod2dlemstep  11804  imasaddfnlemg  13016  cnmpt21  14611