Theorem xpsfval 13347

Description: The value of the function appearing in xpsval 13351. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsfval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐹𝑌) = {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpsfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6557	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
2		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		opexg 4293	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ⟨∅, 𝑋⟩ ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨∅, 𝑋⟩ ∈ V)
5		1lt2o 6558	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 2o
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		opexg 4293	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ 2o ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨1o, 𝑌⟩ ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨1o, 𝑌⟩ ∈ V)
9		prexg 4274	. . 3 ⊢ ((⟨∅, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1o, 𝑌⟩ ∈ V) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
11		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
12	11	opeq2d 3843	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, 𝑋⟩)
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
14	13	opeq2d 3843	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ⟨1o, 𝑦⟩ = ⟨1o, 𝑌⟩)
15	12, 14	preq12d 3731	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩} = {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩})
16		xpsff1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
17	15, 16	ovmpoga 6105	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V) → (𝑋𝐹𝑌) = {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩})
18	10, 17	mpd3an3 1353	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐹𝑌) = {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  Vcvv 2779  ∅c0 3471  {cpr 3647  ⟨cop 3649  (class class class)co 5974   ∈ cmpo 5976  1_oc1o 6525  2_oc2o 6526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-sbc 3009  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-br 4063  df-opab 4125  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1o 6532  df-2o 6533

This theorem is referenced by:  xpsff1o  13348