Theorem xpsfval 12934

Description: The value of the function appearing in xpsval 12938. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsfval	⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐹𝑌) = {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem xpsfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6496	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 2o
2		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
3		opexg 4258	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ⟨∅, 𝑋⟩ ∈ V)
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨∅, 𝑋⟩ ∈ V)
5		1lt2o 6497	. . . 4 ⊢ 1o ∈ 2o
6		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		opexg 4258	. . . 4 ⊢ ((1o ∈ 2o ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨1o, 𝑌⟩ ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ⟨1o, 𝑌⟩ ∈ V)
9		prexg 4241	. . 3 ⊢ ((⟨∅, 𝑋⟩ ∈ V ∧ ⟨1o, 𝑌⟩ ∈ V) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V)
11		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑥 = 𝑋)
12	11	opeq2d 3812	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ⟨∅, 𝑥⟩ = ⟨∅, 𝑋⟩)
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → 𝑦 = 𝑌)
14	13	opeq2d 3812	. . . 4 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → ⟨1o, 𝑦⟩ = ⟨1o, 𝑌⟩)
15	12, 14	preq12d 3704	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 𝑋 ∧ 𝑦 = 𝑌) → {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩} = {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩})
16		xpsff1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
17	15, 16	ovmpoga 6049	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩} ∈ V) → (𝑋𝐹𝑌) = {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩})
18	10, 17	mpd3an3 1349	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐹𝑌) = {⟨∅, 𝑋⟩, ⟨1o, 𝑌⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ∅c0 3447  {cpr 3620  ⟨cop 3622  (class class class)co 5919   ∈ cmpo 5921  1_oc1o 6464  2_oc2o 6465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1o 6471  df-2o 6472

This theorem is referenced by:  xpsff1o  12935