Theorem xpsval 13371

Description: Value of the binary structure product function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsval.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsval.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsval.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
xpsval.k	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
xpsval.u	⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsval	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡𝐹 “s 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3	2	elexd 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
4		xpsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
5	4	elexd 2813	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		xpsval.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
7		basfn 13077	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
8		funfvex 5640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
9	8	funfni 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
10	7, 3, 9	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
11	6, 10	eqeltrid 2316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
12		xpsval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
13		funfvex 5640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑆 ∈ dom Base) → (Base‘𝑆) ∈ V)
14	13	funfni 5419	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑆 ∈ V) → (Base‘𝑆) ∈ V)
15	7, 5, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
16	12, 15	eqeltrid 2316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
17		xpsval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
18	17	mpoexg 6347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
19	11, 16, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
20		cnvexg 5262	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
21	19, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ V)
22		xpsval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
23		xpsval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
24		scaslid 13172	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
25	24	slotex 13045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26	2, 25	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
27	23, 26	eqeltrid 2316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
28		0lt2o 6577	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
29		opexg 4313	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ⟨∅, 𝑅⟩ ∈ V)
30	28, 2, 29	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, 𝑅⟩ ∈ V)
31		1lt2o 6578	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
32		opexg 4313	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ∈ 2o ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ⟨1o, 𝑆⟩ ∈ V)
33	31, 4, 32	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨1o, 𝑆⟩ ∈ V)
34		prexg 4294	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨∅, 𝑅⟩ ∈ V ∧ ⟨1o, 𝑆⟩ ∈ V) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V)
35	30, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V)
36		prdsex 13288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V) → (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
37	27, 35, 36	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
38	22, 37	eqeltrid 2316	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
39		imasex 13324	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (◡𝐹 “s 𝑈) ∈ V)
40	21, 38, 39	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “s 𝑈) ∈ V)
41		fveq2 5623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Base‘𝑟) = (Base‘𝑅))
42	41, 6	eqtr4di 2280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Base‘𝑟) = 𝑋)
43		fveq2 5623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (Base‘𝑠) = (Base‘𝑆))
44	43, 12	eqtr4di 2280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (Base‘𝑠) = 𝑌)
45		mpoeq12 6055	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝑟) = 𝑋 ∧ (Base‘𝑠) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
46	42, 44, 45	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
47	46, 17	eqtr4di 2280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = 𝐹)
48	47	cnveqd 4895	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = ◡𝐹)
49		fveq2 5623	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Scalar‘𝑟) = (Scalar‘𝑅))
50	49	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (Scalar‘𝑟) = (Scalar‘𝑅))
51	50, 23	eqtr4di 2280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (Scalar‘𝑟) = 𝐺)
52		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑟 = 𝑅)
53	52	opeq2d 3863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ⟨∅, 𝑟⟩ = ⟨∅, 𝑅⟩)
54		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
55	54	opeq2d 3863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ⟨1o, 𝑠⟩ = ⟨1o, 𝑆⟩)
56	53, 55	preq12d 3751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → {⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩} = {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
57	51, 56	oveq12d 6012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩}) = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
58	57, 22	eqtr4di 2280	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩}) = 𝑈)
59	48, 58	oveq12d 6012	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩})) = (◡𝐹 “s 𝑈))
60		df-xps 13323	. . . 4 ⊢ ×s = (𝑟 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩})))
61	59, 60	ovmpoga 6125	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ (◡𝐹 “s 𝑈) ∈ V) → (𝑅 ×s 𝑆) = (◡𝐹 “s 𝑈))
62	3, 5, 40, 61	syl3anc 1271	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ×s 𝑆) = (◡𝐹 “s 𝑈))
63	1, 62	eqtrid 2274	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡𝐹 “s 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ∅c0 3491  {cpr 3667  ⟨cop 3669  ^◡ccnv 4715   Fn wfn 5309  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994   ∈ cmpo 5996  1_oc1o 6545  2_oc2o 6546  Basecbs 13018  Scalarcsca 13099  X_scprds 13284   “_s cimas 13318   ×_s cxps 13320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-cnre 8098

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-iord 4454  df-on 4456  df-suc 4459  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-1o 6552  df-2o 6553  df-map 6787  df-ixp 6836  df-sup 7139  df-sub 8307  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-n0 9358  df-dec 9567  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-plusg 13109  df-mulr 13110  df-sca 13112  df-vsca 13113  df-ip 13114  df-tset 13115  df-ple 13116  df-ds 13118  df-hom 13120  df-cco 13121  df-rest 13260  df-topn 13261  df-topgen 13279  df-pt 13280  df-prds 13286  df-iimas 13321  df-xps 13323

This theorem is referenced by: (None)