Theorem xpsval 12995

Description: Value of the binary structure product function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsval.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsval.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsval.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
xpsval.k	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
xpsval.u	⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsval	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡𝐹 “s 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3	2	elexd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
4		xpsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
5	4	elexd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		xpsval.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
7		basfn 12736	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
8		funfvex 5575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
9	8	funfni 5358	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
10	7, 3, 9	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
11	6, 10	eqeltrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
12		xpsval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
13		funfvex 5575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑆 ∈ dom Base) → (Base‘𝑆) ∈ V)
14	13	funfni 5358	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑆 ∈ V) → (Base‘𝑆) ∈ V)
15	7, 5, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
16	12, 15	eqeltrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
17		xpsval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
18	17	mpoexg 6269	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
19	11, 16, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
20		cnvexg 5207	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
21	19, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ V)
22		xpsval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
23		xpsval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
24		scaslid 12830	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
25	24	slotex 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26	2, 25	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
27	23, 26	eqeltrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
28		0lt2o 6499	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
29		opexg 4261	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ⟨∅, 𝑅⟩ ∈ V)
30	28, 2, 29	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, 𝑅⟩ ∈ V)
31		1lt2o 6500	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
32		opexg 4261	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ∈ 2o ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ⟨1o, 𝑆⟩ ∈ V)
33	31, 4, 32	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨1o, 𝑆⟩ ∈ V)
34		prexg 4244	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨∅, 𝑅⟩ ∈ V ∧ ⟨1o, 𝑆⟩ ∈ V) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V)
35	30, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V)
36		prdsex 12940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V) → (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
37	27, 35, 36	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
38	22, 37	eqeltrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
39		imasex 12948	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (◡𝐹 “s 𝑈) ∈ V)
40	21, 38, 39	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “s 𝑈) ∈ V)
41		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Base‘𝑟) = (Base‘𝑅))
42	41, 6	eqtr4di 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Base‘𝑟) = 𝑋)
43		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (Base‘𝑠) = (Base‘𝑆))
44	43, 12	eqtr4di 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (Base‘𝑠) = 𝑌)
45		mpoeq12 5982	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝑟) = 𝑋 ∧ (Base‘𝑠) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
46	42, 44, 45	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
47	46, 17	eqtr4di 2247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = 𝐹)
48	47	cnveqd 4842	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = ◡𝐹)
49		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Scalar‘𝑟) = (Scalar‘𝑅))
50	49	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (Scalar‘𝑟) = (Scalar‘𝑅))
51	50, 23	eqtr4di 2247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (Scalar‘𝑟) = 𝐺)
52		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑟 = 𝑅)
53	52	opeq2d 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ⟨∅, 𝑟⟩ = ⟨∅, 𝑅⟩)
54		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
55	54	opeq2d 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ⟨1o, 𝑠⟩ = ⟨1o, 𝑆⟩)
56	53, 55	preq12d 3707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → {⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩} = {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
57	51, 56	oveq12d 5940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩}) = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
58	57, 22	eqtr4di 2247	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩}) = 𝑈)
59	48, 58	oveq12d 5940	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩})) = (◡𝐹 “s 𝑈))
60		df-xps 12947	. . . 4 ⊢ ×s = (𝑟 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩})))
61	59, 60	ovmpoga 6052	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ (◡𝐹 “s 𝑈) ∈ V) → (𝑅 ×s 𝑆) = (◡𝐹 “s 𝑈))
62	3, 5, 40, 61	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ×s 𝑆) = (◡𝐹 “s 𝑈))
63	1, 62	eqtrid 2241	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡𝐹 “s 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  ∅c0 3450  {cpr 3623  ⟨cop 3625  ^◡ccnv 4662   Fn wfn 5253  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ∈ cmpo 5924  1_oc1o 6467  2_oc2o 6468  Basecbs 12678  Scalarcsca 12758  X_scprds 12936   “_s cimas 12942   ×_s cxps 12944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-1o 6474  df-2o 6475  df-map 6709  df-ixp 6758  df-sup 7050  df-sub 8199  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-dec 9458  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-hom 12779  df-cco 12780  df-rest 12912  df-topn 12913  df-topgen 12931  df-pt 12932  df-prds 12938  df-iimas 12945  df-xps 12947

This theorem is referenced by: (None)