Theorem xpsval 12771

Description: Value of the binary structure product function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsval.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsval.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsval.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsval.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
xpsval.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
xpsval.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
xpsval.k	⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
xpsval.u	⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})

Assertion

Ref	Expression
xpsval	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡𝐹 “s 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑅   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑇(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem xpsval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsval.t	. 2 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsval.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3	2	elexd 2751	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
4		xpsval.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑊)
5	4	elexd 2751	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
6		xpsval.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
7		basfn 12520	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
8		funfvex 5533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
9	8	funfni 5317	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
10	7, 3, 9	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
11	6, 10	eqeltrid 2264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
12		xpsval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
13		funfvex 5533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑆 ∈ dom Base) → (Base‘𝑆) ∈ V)
14	13	funfni 5317	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑆 ∈ V) → (Base‘𝑆) ∈ V)
15	7, 5, 14	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) ∈ V)
16	12, 15	eqeltrid 2264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
17		xpsval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩})
18	17	mpoexg 6212	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
19	11, 16, 18	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
20		cnvexg 5167	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ V → ◡𝐹 ∈ V)
21	19, 20	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 ∈ V)
22		xpsval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
23		xpsval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (Scalar‘𝑅)
24		scaslid 12611	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar = Slot (Scalar‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ∈ ℕ)
25	24	slotex 12489	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26	2, 25	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
27	23, 26	eqeltrid 2264	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
28		0lt2o 6442	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ 2o
29		opexg 4229	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ 2o ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ⟨∅, 𝑅⟩ ∈ V)
30	28, 2, 29	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨∅, 𝑅⟩ ∈ V)
31		1lt2o 6443	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
32		opexg 4229	. . . . . . . 8 ⊢ ((1o ∈ 2o ∧ 𝑆 ∈ 𝑊) → ⟨1o, 𝑆⟩ ∈ V)
33	31, 4, 32	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨1o, 𝑆⟩ ∈ V)
34		prexg 4212	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨∅, 𝑅⟩ ∈ V ∧ ⟨1o, 𝑆⟩ ∈ V) → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V)
35	30, 33, 34	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V)
36		prdsex 12718	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩} ∈ V) → (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
37	27, 35, 36	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}) ∈ V)
38	22, 37	eqeltrid 2264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
39		imasex 12726	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (◡𝐹 “s 𝑈) ∈ V)
40	21, 38, 39	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “s 𝑈) ∈ V)
41		fveq2 5516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Base‘𝑟) = (Base‘𝑅))
42	41, 6	eqtr4di 2228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Base‘𝑟) = 𝑋)
43		fveq2 5516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (Base‘𝑠) = (Base‘𝑆))
44	43, 12	eqtr4di 2228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (Base‘𝑠) = 𝑌)
45		mpoeq12 5935	. . . . . . . 8 ⊢ (((Base‘𝑟) = 𝑋 ∧ (Base‘𝑠) = 𝑌) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
46	42, 44, 45	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ 𝑌 ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}))
47	46, 17	eqtr4di 2228	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = 𝐹)
48	47	cnveqd 4804	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) = ◡𝐹)
49		fveq2 5516	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (Scalar‘𝑟) = (Scalar‘𝑅))
50	49	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (Scalar‘𝑟) = (Scalar‘𝑅))
51	50, 23	eqtr4di 2228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (Scalar‘𝑟) = 𝐺)
52		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑟 = 𝑅)
53	52	opeq2d 3786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ⟨∅, 𝑟⟩ = ⟨∅, 𝑅⟩)
54		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → 𝑠 = 𝑆)
55	54	opeq2d 3786	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ⟨1o, 𝑠⟩ = ⟨1o, 𝑆⟩)
56	53, 55	preq12d 3678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → {⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩} = {⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩})
57	51, 56	oveq12d 5893	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩}) = (𝐺Xs{⟨∅, 𝑅⟩, ⟨1o, 𝑆⟩}))
58	57, 22	eqtr4di 2228	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩}) = 𝑈)
59	48, 58	oveq12d 5893	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩})) = (◡𝐹 “s 𝑈))
60		df-xps 12725	. . . 4 ⊢ ×s = (𝑟 ∈ V, 𝑠 ∈ V ↦ (◡(𝑥 ∈ (Base‘𝑟), 𝑦 ∈ (Base‘𝑠) ↦ {⟨∅, 𝑥⟩, ⟨1o, 𝑦⟩}) “s ((Scalar‘𝑟)Xs{⟨∅, 𝑟⟩, ⟨1o, 𝑠⟩})))
61	59, 60	ovmpoga 6004	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ V ∧ (◡𝐹 “s 𝑈) ∈ V) → (𝑅 ×s 𝑆) = (◡𝐹 “s 𝑈))
62	3, 5, 40, 61	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ×s 𝑆) = (◡𝐹 “s 𝑈))
63	1, 62	eqtrid 2222	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (◡𝐹 “s 𝑈))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738  ∅c0 3423  {cpr 3594  ⟨cop 3596  ^◡ccnv 4626   Fn wfn 5212  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875   ∈ cmpo 5877  1_oc1o 6410  2_oc2o 6411  Basecbs 12462  Scalarcsca 12539  X_scprds 12714   “_s cimas 12720   ×_s cxps 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-tp 3601  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-ixp 6699  df-sup 6983  df-sub 8130  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-dec 9385  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-sca 12552  df-vsca 12553  df-ip 12554  df-tset 12555  df-ple 12556  df-ds 12558  df-hom 12560  df-cco 12561  df-rest 12690  df-topn 12691  df-topgen 12709  df-pt 12710  df-prds 12716  df-iimas 12723  df-xps 12725

This theorem is referenced by: (None)