Theorem ssexg 4115

Description: The subset of a set is also a set. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 22 (generalized). (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ssexg	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ssexg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3161	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
2	1	imbi1d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)))
3		vex 2724	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ssex 4113	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	vtoclg 2781	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V))
6	5	impcom 124	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  Vcvv 2721   ⊆ wss 3111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146  ax-sep 4094

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-in 3117  df-ss 3124

This theorem is referenced by:  ssexd  4116  difexg  4117  rabexg  4119  elssabg  4121  elpw2g  4129  abssexg  4155  snexg  4157  sess1  4309  sess2  4310  trsuc  4394  unexb  4414  abnexg  4418  uniexb  4445  xpexg  4712  riinint  4859  dmexg  4862  rnexg  4863  resexg  4918  resiexg  4923  imaexg  4952  exse2  4972  cnvexg  5135  coexg  5142  fabexg  5369  f1oabexg  5438  relrnfvex  5498  fvexg  5499  sefvex  5501  mptfvex  5565  mptexg  5704  ofres  6058  resfunexgALT  6070  cofunexg  6071  fnexALT  6073  f1dmex  6076  oprabexd  6087  mpoexxg  6170  tposexg  6217  frecabex  6357  erex  6516  mapex  6611  pmvalg  6616  elpmg  6621  elmapssres  6630  pmss12g  6632  ixpexgg  6679  ssdomg  6735  fiprc  6772  fival  6926  iccen  9933  shftfvalg  10746  shftfval  10749  toponsspwpwg  12561  tgval  12590  tgvalex  12591  eltg  12593  eltg2  12594  tgss  12604  basgen2  12622  bastop1  12624  topnex  12627  resttopon  12712  restabs  12716  lmfval  12733  cnrest  12776  txss12  12807  metrest  13047  dvbss  13195  dvcnp2cntop  13204  dvaddxxbr  13206  dvmulxxbr  13207