Theorem ssexg 4173

Description: The subset of a set is also a set. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 22 (generalized). (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ssexg	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ssexg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3208	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
2	1	imbi1d 231	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)))
3		vex 2766	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ssex 4171	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	vtoclg 2824	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V))
6	5	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  ssexd  4174  difexg  4175  rabexg  4177  elssabg  4182  elpw2g  4190  abssexg  4216  snexg  4218  sess1  4373  sess2  4374  trsuc  4458  unexb  4478  abnexg  4482  uniexb  4509  xpexg  4778  riinint  4928  dmexg  4931  rnexg  4932  resexg  4987  resiexg  4992  imaexg  5024  exse2  5044  cnvexg  5208  coexg  5215  fabexg  5448  f1oabexg  5519  relrnfvex  5579  fvexg  5580  sefvex  5582  mptfvex  5650  mptexg  5790  ofres  6154  resfunexgALT  6174  cofunexg  6175  fnexALT  6177  f1dmex  6182  oprabexd  6193  mpoexxg  6277  tposexg  6325  frecabex  6465  erex  6625  mapex  6722  pmvalg  6727  elpmg  6732  elmapssres  6741  pmss12g  6743  ixpexgg  6790  ssdomg  6846  fiprc  6883  fival  7045  iccen  10100  wrdexb  10966  shftfvalg  11002  shftfval  11005  tgval  12966  tgvalex  12967  toponsspwpwg  14366  eltg  14396  eltg2  14397  tgss  14407  basgen2  14425  bastop1  14427  topnex  14430  resttopon  14515  restabs  14519  lmfval  14536  cnrest  14579  txss12  14610  metrest  14850  dvbss  15029  dvcnp2cntop  15043  dvaddxxbr  15045  dvmulxxbr  15046  elply2  15079  plyf  15081  plyss  15082  elplyr  15084  plyaddlem  15093  plymullem  15094  plyco  15103