Theorem ssexg 4223

Description: The subset of a set is also a set. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 22 (generalized). (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ssexg	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ssexg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3248	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
2	1	imbi1d 231	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)))
3		vex 2802	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ssex 4221	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	vtoclg 2861	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V))
6	5	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  ssexd  4224  difexg  4225  rabexg  4227  elssabg  4232  elpw2g  4240  abssexg  4266  snexg  4268  sess1  4428  sess2  4429  trsuc  4513  unexb  4533  abnexg  4537  uniexb  4564  xpexg  4833  riinint  4985  dmexg  4988  rnexg  4989  resexg  5045  resiexg  5050  imaexg  5082  exse2  5102  cnvexg  5266  coexg  5273  fabexg  5515  f1oabexg  5586  relrnfvex  5647  fvexg  5648  sefvex  5650  mptfvex  5722  mptexg  5868  ofres  6239  resfunexgALT  6259  cofunexg  6260  fnexALT  6262  f1dmex  6267  oprabexd  6278  mpoexxg  6362  tposexg  6410  frecabex  6550  erex  6712  mapex  6809  pmvalg  6814  elpmg  6819  elmapssres  6828  pmss12g  6830  ixpexgg  6877  ssdomg  6938  fiprc  6976  fival  7148  iccen  10214  wrdexb  11096  shftfvalg  11345  shftfval  11348  tgval  13311  tgvalex  13312  toponsspwpwg  14712  eltg  14742  eltg2  14743  tgss  14753  basgen2  14771  bastop1  14773  topnex  14776  resttopon  14861  restabs  14865  lmfval  14883  cnrest  14925  txss12  14956  metrest  15196  dvbss  15375  dvcnp2cntop  15389  dvaddxxbr  15391  dvmulxxbr  15392  elply2  15425  plyf  15427  plyss  15428  elplyr  15430  plyaddlem  15439  plymullem  15440  plyco  15449  clwwlkex  16141