Theorem ssexg 4223

Description: The subset of a set is also a set. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 22 (generalized). (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ssexg	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ssexg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3248	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝑥 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
2	1	imbi1d 231	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)))
3		vex 2802	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	ssex 4221	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑥 → 𝐴 ∈ V)
5	2, 4	vtoclg 2861	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ∈ V))
6	5	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-sep 4202

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210

This theorem is referenced by:  ssexd  4224  difexg  4225  rabexg  4227  elssabg  4232  elpw2g  4240  abssexg  4266  snexg  4268  sess1  4428  sess2  4429  trsuc  4513  unexb  4533  abnexg  4537  uniexb  4564  xpexg  4833  riinint  4985  dmexg  4988  rnexg  4989  resexg  5045  resiexg  5050  imaexg  5082  exse2  5102  cnvexg  5266  coexg  5273  fabexg  5513  f1oabexg  5584  relrnfvex  5645  fvexg  5646  sefvex  5648  mptfvex  5720  mptexg  5864  ofres  6233  resfunexgALT  6253  cofunexg  6254  fnexALT  6256  f1dmex  6261  oprabexd  6272  mpoexxg  6356  tposexg  6404  frecabex  6544  erex  6704  mapex  6801  pmvalg  6806  elpmg  6811  elmapssres  6820  pmss12g  6822  ixpexgg  6869  ssdomg  6930  fiprc  6968  fival  7137  iccen  10202  wrdexb  11083  shftfvalg  11329  shftfval  11332  tgval  13295  tgvalex  13296  toponsspwpwg  14696  eltg  14726  eltg2  14727  tgss  14737  basgen2  14755  bastop1  14757  topnex  14760  resttopon  14845  restabs  14849  lmfval  14867  cnrest  14909  txss12  14940  metrest  15180  dvbss  15359  dvcnp2cntop  15373  dvaddxxbr  15375  dvmulxxbr  15376  elply2  15409  plyf  15411  plyss  15412  elplyr  15414  plyaddlem  15423  plymullem  15424  plyco  15433