Theorem offres 6103

Description: Pointwise combination commutes with restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
offres	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)))

Proof of Theorem offres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3343	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
2	1	sseli 3138	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
3		fvres 5510	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
4		fvres 5510	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
5	3, 4	oveq12d 5860	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
6	2, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
7	6	mpteq2ia 4068	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
8		inindi 3339	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
9		incom 3314	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
10		dmres 4905	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐹)
11		dmres 4905	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐺)
12	10, 11	ineq12i 3321	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
13	8, 9, 12	3eqtr4ri 2197	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) = ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷)
14		eqid 2165	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))
15	13, 14	mpteq12i 4070	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)))
16		resmpt3 4933	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
17	7, 15, 16	3eqtr4ri 2197	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)))
18		offval3 6102	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))))
19	18	reseq1d 4883	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝐷))
20		resexg 4924	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ V)
21		resexg 4924	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ↾ 𝐷) ∈ V)
22		offval3 6102	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ V ∧ (𝐺 ↾ 𝐷) ∈ V) → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))))
23	20, 21, 22	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))))
24	17, 19, 23	3eqtr4a 2225	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ∩ cin 3115   ↦ cmpt 4043  dom cdm 4604   ↾ cres 4606  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842   ∘_𝑓 cof 6048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050

This theorem is referenced by: (None)