Theorem offres 6201

Description: Pointwise combination commutes with restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
offres	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)))

Proof of Theorem offres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3385	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
2	1	sseli 3180	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
3		fvres 5585	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
4		fvres 5585	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
5	3, 4	oveq12d 5943	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
6	2, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
7	6	mpteq2ia 4120	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
8		inindi 3381	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
9		incom 3356	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
10		dmres 4968	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐹)
11		dmres 4968	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐺)
12	10, 11	ineq12i 3363	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
13	8, 9, 12	3eqtr4ri 2228	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) = ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷)
14		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))
15	13, 14	mpteq12i 4122	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)))
16		resmpt3 4996	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
17	7, 15, 16	3eqtr4ri 2228	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)))
18		offval3 6200	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))))
19	18	reseq1d 4946	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝐷))
20		resexg 4987	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ V)
21		resexg 4987	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ↾ 𝐷) ∈ V)
22		offval3 6200	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ V ∧ (𝐺 ↾ 𝐷) ∈ V) → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))))
23	20, 21, 22	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))))
24	17, 19, 23	3eqtr4a 2255	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∩ cin 3156   ↦ cmpt 4095  dom cdm 4664   ↾ cres 4666  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ∘_𝑓 cof 6137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139

This theorem is referenced by: (None)