ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  offres GIF version

Theorem offres 5920
Description: Pointwise combination commutes with restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
offres ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)))

Proof of Theorem offres
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3222 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
21sseli 3022 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → 𝑥𝐷)
3 fvres 5342 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((𝐹𝐷)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
4 fvres 5342 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((𝐺𝐷)‘𝑥) = (𝐺𝑥))
53, 4oveq12d 5684 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
62, 5syl 14 . . . 4 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
76mpteq2ia 3930 . . 3 (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
8 inindi 3218 . . . . 5 (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
9 incom 3193 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
10 dmres 4747 . . . . . 6 dom (𝐹𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐹)
11 dmres 4747 . . . . . 6 dom (𝐺𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐺)
1210, 11ineq12i 3200 . . . . 5 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
138, 9, 123eqtr4ri 2120 . . . 4 (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) = ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷)
14 eqid 2089 . . . 4 (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)) = (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))
1513, 14mpteq12i 3932 . . 3 (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)))
16 resmpt3 4774 . . 3 ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥)))
177, 15, 163eqtr4ri 2120 . 2 ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥)))
18 offval3 5919 . . 3 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → (𝐹𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))))
1918reseq1d 4725 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥)𝑅(𝐺𝑥))) ↾ 𝐷))
20 resexg 4765 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹𝐷) ∈ V)
21 resexg 4765 . . 3 (𝐺𝑊 → (𝐺𝐷) ∈ V)
22 offval3 5919 . . 3 (((𝐹𝐷) ∈ V ∧ (𝐺𝐷) ∈ V) → ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))))
2320, 21, 22syl2an 284 . 2 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹𝐷) ∩ dom (𝐺𝐷)) ↦ (((𝐹𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺𝐷)‘𝑥))))
2417, 19, 233eqtr4a 2147 1 ((𝐹𝑉𝐺𝑊) → ((𝐹𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺𝐷)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wcel 1439  Vcvv 2620  cin 2999  cmpt 3905  dom cdm 4452  cres 4454  cfv 5028  (class class class)co 5666  𝑓 cof 5868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-of 5870
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator