Theorem offres 6187

Description: Pointwise combination commutes with restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
offres	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)))

Proof of Theorem offres

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3380	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ⊆ 𝐷
2	1	sseli 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
3		fvres 5578	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
4		fvres 5578	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
5	3, 4	oveq12d 5936	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
6	2, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) → (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
7	6	mpteq2ia 4115	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
8		inindi 3376	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
9		incom 3351	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) = (𝐷 ∩ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
10		dmres 4963	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐹)
11		dmres 4963	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐺 ↾ 𝐷) = (𝐷 ∩ dom 𝐺)
12	10, 11	ineq12i 3358	. . . . 5 ⊢ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) = ((𝐷 ∩ dom 𝐹) ∩ (𝐷 ∩ dom 𝐺))
13	8, 9, 12	3eqtr4ri 2225	. . . 4 ⊢ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) = ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷)
14		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)) = (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))
15	13, 14	mpteq12i 4117	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)))
16		resmpt3 4991	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∩ 𝐷) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥)))
17	7, 15, 16	3eqtr4ri 2225	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝐷) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥)))
18		offval3 6186	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))))
19	18	reseq1d 4941	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥)𝑅(𝐺‘𝑥))) ↾ 𝐷))
20		resexg 4982	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (𝐹 ↾ 𝐷) ∈ V)
21		resexg 4982	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑊 → (𝐺 ↾ 𝐷) ∈ V)
22		offval3 6186	. . 3 ⊢ (((𝐹 ↾ 𝐷) ∈ V ∧ (𝐺 ↾ 𝐷) ∈ V) → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))))
23	20, 21, 22	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)) = (𝑥 ∈ (dom (𝐹 ↾ 𝐷) ∩ dom (𝐺 ↾ 𝐷)) ↦ (((𝐹 ↾ 𝐷)‘𝑥)𝑅((𝐺 ↾ 𝐷)‘𝑥))))
24	17, 19, 23	3eqtr4a 2252	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑊) → ((𝐹 ∘𝑓 𝑅𝐺) ↾ 𝐷) = ((𝐹 ↾ 𝐷) ∘𝑓 𝑅(𝐺 ↾ 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∩ cin 3152   ↦ cmpt 4090  dom cdm 4659   ↾ cres 4661  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ∘_𝑓 cof 6128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130

This theorem is referenced by: (None)