ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resixp GIF version

Theorem resixp 6787
Description: Restriction of an element of an infinite Cartesian product. (Contributed by FL, 7-Nov-2011.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 31-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
resixp ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem resixp
StepHypRef Expression
1 resexg 4982 . . 3 (𝐹X𝑥𝐴 𝐶 → (𝐹𝐵) ∈ V)
21adantl 277 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ V)
3 simpr 110 . . . . 5 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐹X𝑥𝐴 𝐶)
4 elixp2 6756 . . . . 5 (𝐹X𝑥𝐴 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
53, 4sylib 122 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
65simp2d 1012 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐹 Fn 𝐴)
7 simpl 109 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → 𝐵𝐴)
8 fnssres 5367 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐵𝐴) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
96, 7, 8syl2anc 411 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) Fn 𝐵)
105simp3d 1013 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
11 ssralv 3243 . . . 4 (𝐵𝐴 → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
127, 10, 11sylc 62 . . 3 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
13 fvres 5578 . . . . 5 (𝑥𝐵 → ((𝐹𝐵)‘𝑥) = (𝐹𝑥))
1413eleq1d 2262 . . . 4 (𝑥𝐵 → (((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐶))
1514ralbiia 2508 . . 3 (∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐵 (𝐹𝑥) ∈ 𝐶)
1612, 15sylibr 134 . 2 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶)
17 elixp2 6756 . 2 ((𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶 ↔ ((𝐹𝐵) ∈ V ∧ (𝐹𝐵) Fn 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝐹𝐵)‘𝑥) ∈ 𝐶))
182, 9, 16, 17syl3anbrc 1183 1 ((𝐵𝐴𝐹X𝑥𝐴 𝐶) → (𝐹𝐵) ∈ X𝑥𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 980  wcel 2164  wral 2472  Vcvv 2760  wss 3153  cres 4661   Fn wfn 5249  cfv 5254  Xcixp 6752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ixp 6753
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator