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Theorem setsslid 12563
Description: Value of the structure replacement function at a replaced index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Jan-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
setsslid.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
setsslid ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsslid
StepHypRef Expression
1 setsslid.e . . . . 5 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
21simpri 113 . . . 4 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
3 setsvala 12543 . . . 4 ((𝑊𝐴 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
42, 3mp3an2 1336 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
54fveq2d 5538 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)) = (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})))
61simpli 111 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
7 resexg 4965 . . . 4 (𝑊𝐴 → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
8 simpr 110 . . . . . 6 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶𝑉)
9 opexg 4246 . . . . . 6 (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
102, 8, 9sylancr 414 . . . . 5 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
11 snexg 4202 . . . . 5 (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V)
1210, 11syl 14 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V)
13 unexg 4461 . . . 4 (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V ∧ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
147, 12, 13syl2an2r 595 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
152a1i 9 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
166, 14, 15strnfvnd 12532 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
17 snidg 3636 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ∈ ℕ → (𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)})
18 fvres 5558 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)} → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
192, 17, 18mp2b 8 . . . 4 ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx))
20 resres 4937 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}))
21 incom 3342 . . . . . . . . . . . 12 ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ({(𝐸‘ndx)} ∩ (V ∖ {(𝐸‘ndx)}))
22 disjdif 3510 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝐸‘ndx)} ∩ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
2321, 22eqtri 2210 . . . . . . . . . . 11 ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
2423reseq2i 4922 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = (𝑊 ↾ ∅)
25 res0 4929 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ↾ ∅) = ∅
2624, 25eqtri 2210 . . . . . . . . 9 (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
2720, 26eqtri 2210 . . . . . . . 8 ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
2827a1i 9 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅)
292elexi 2764 . . . . . . . . . 10 (𝐸‘ndx) ∈ V
308elexd 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ V)
31 opelxpi 4676 . . . . . . . . . 10 (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
3229, 30, 31sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
33 relsng 4747 . . . . . . . . . 10 (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
3410, 33syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
3532, 34mpbird 167 . . . . . . . 8 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
36 dmsnopg 5118 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑉 → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)})
3736adantl 277 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)})
38 eqimss 3224 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)} → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)})
3937, 38syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)})
40 relssres 4963 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∧ dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
4135, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
4228, 41uneq12d 3305 . . . . . 6 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)})) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
43 resundir 4939 . . . . . 6 (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}))
44 un0 3471 . . . . . . 7 ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}
45 uncom 3294 . . . . . . 7 ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
4644, 45eqtr3i 2212 . . . . . 6 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
4742, 43, 463eqtr4g 2247 . . . . 5 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
4847fveq1d 5536 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
4919, 48eqtr3id 2236 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
50 fvsng 5733 . . . 4 (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
512, 8, 50sylancr 414 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
5249, 51eqtrd 2222 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
535, 16, 523eqtrrd 2227 1 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  Vcvv 2752  cdif 3141  cun 3142  cin 3143  wss 3144  c0 3437  {csn 3607  cop 3610   × cxp 4642  dom cdm 4644  cres 4646  Rel wrel 4649  cfv 5235  (class class class)co 5896  cn 8949  ndxcnx 12509   sSet csts 12510  Slot cslot 12511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-slot 12516  df-sets 12519
This theorem is referenced by:  ressbasd  12579  mgpplusgg  13278  opprmulfvalg  13420  rmodislmod  13667  srascag  13758  sravscag  13759  sraipg  13760  zlmsca  13928  zlmvscag  13929  znle  13933  setsmstsetg  14441
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