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Theorem setsslid 12455
Description: Value of the structure replacement function at a replaced index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Jan-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
setsslid.e (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
setsslid ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsslid
StepHypRef Expression
1 setsslid.e . . . . 5 (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
21simpri 112 . . . 4 (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
3 setsvala 12436 . . . 4 ((𝑊𝐴 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
42, 3mp3an2 1320 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
54fveq2d 5498 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)) = (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})))
61simpli 110 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
7 resexg 4929 . . . 4 (𝑊𝐴 → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
8 simpr 109 . . . . . 6 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶𝑉)
9 opexg 4211 . . . . . 6 (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
102, 8, 9sylancr 412 . . . . 5 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
11 snexg 4168 . . . . 5 (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V)
1210, 11syl 14 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V)
13 unexg 4426 . . . 4 (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V ∧ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
147, 12, 13syl2an2r 590 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
152a1i 9 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
166, 14, 15strnfvnd 12425 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
17 snidg 3610 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ∈ ℕ → (𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)})
18 fvres 5518 . . . . 5 ((𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)} → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
192, 17, 18mp2b 8 . . . 4 ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx))
20 resres 4901 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}))
21 incom 3319 . . . . . . . . . . . 12 ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ({(𝐸‘ndx)} ∩ (V ∖ {(𝐸‘ndx)}))
22 disjdif 3486 . . . . . . . . . . . 12 ({(𝐸‘ndx)} ∩ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
2321, 22eqtri 2191 . . . . . . . . . . 11 ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
2423reseq2i 4886 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = (𝑊 ↾ ∅)
25 res0 4893 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ↾ ∅) = ∅
2624, 25eqtri 2191 . . . . . . . . 9 (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
2720, 26eqtri 2191 . . . . . . . 8 ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
2827a1i 9 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅)
292elexi 2742 . . . . . . . . . 10 (𝐸‘ndx) ∈ V
308elexd 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 ∈ V)
31 opelxpi 4641 . . . . . . . . . 10 (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
3229, 30, 31sylancr 412 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
33 relsng 4712 . . . . . . . . . 10 (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
3410, 33syl 14 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
3532, 34mpbird 166 . . . . . . . 8 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
36 dmsnopg 5080 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑉 → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)})
3736adantl 275 . . . . . . . . 9 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)})
38 eqimss 3201 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)} → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)})
3937, 38syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)})
40 relssres 4927 . . . . . . . 8 ((Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∧ dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
4135, 39, 40syl2anc 409 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
4228, 41uneq12d 3282 . . . . . 6 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)})) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
43 resundir 4903 . . . . . 6 (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}))
44 un0 3447 . . . . . . 7 ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}
45 uncom 3271 . . . . . . 7 ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
4644, 45eqtr3i 2193 . . . . . 6 {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
4742, 43, 463eqtr4g 2228 . . . . 5 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
4847fveq1d 5496 . . . 4 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
4919, 48eqtr3id 2217 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
50 fvsng 5690 . . . 4 (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
512, 8, 50sylancr 412 . . 3 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
5249, 51eqtrd 2203 . 2 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
535, 16, 523eqtrrd 2208 1 ((𝑊𝐴𝐶𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730  cdif 3118  cun 3119  cin 3120  wss 3121  c0 3414  {csn 3581  cop 3584   × cxp 4607  dom cdm 4609  cres 4611  Rel wrel 4614  cfv 5196  (class class class)co 5851  cn 8867  ndxcnx 12402   sSet csts 12403  Slot cslot 12404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-slot 12409  df-sets 12412
This theorem is referenced by:  setsmstsetg  13236
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