setsslid - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem setsslid 12513

Description: Value of the structure replacement function at a replaced index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Jan-2023.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
setsslid.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
setsslid	⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

**Proof of Theorem setsslid**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsslid.e	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpri 113	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
3		setsvala 12493	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
4	2, 3	mp3an2 1325	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
5	4	fveq2d 5520	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)) = (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})))
6	1	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
7		resexg 4948	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐴 → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		opexg 4229	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
10	2, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
11		snexg 4185	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V)
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V)
13		unexg 4444	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V ∧ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
14	7, 12, 13	syl2an2r 595	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
15	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
16	6, 14, 15	strnfvnd 12482	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
17		snidg 3622	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ ℕ → (𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)})
18		fvres 5540	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)} → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
19	2, 17, 18	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx))
20		resres 4920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}))
21		incom 3328	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ({(𝐸‘ndx)} ∩ (V ∖ {(𝐸‘ndx)}))
22		disjdif 3496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({(𝐸‘ndx)} ∩ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
23	21, 22	eqtri 2198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
24	23	reseq2i 4905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = (𝑊 ↾ ∅)
25		res0 4912	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ↾ ∅) = ∅
26	24, 25	eqtri 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
27	20, 26	eqtri 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
28	27	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅)
29	2	elexi 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
30	8	elexd 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ V)
31		opelxpi 4659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
32	29, 30, 31	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
33		relsng 4730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
35	32, 34	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
36		dmsnopg 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)})
37	36	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)})
38		eqimss 3210	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)} → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)})
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)})
40		relssres 4946	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∧ dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
41	35, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
42	28, 41	uneq12d 3291	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)})) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
43		resundir 4922	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}))
44		un0 3457	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}
45		uncom 3280	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
46	44, 45	eqtr3i 2200	. . . . . 6 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
47	42, 43, 46	3eqtr4g 2235	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
48	47	fveq1d 5518	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
49	19, 48	eqtr3id 2224	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
50		fvsng 5713	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
51	2, 8, 50	sylancr 414	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
52	49, 51	eqtrd 2210	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
53	5, 16, 52	3eqtrrd 2215	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 Vcvv 2738 ∖ cdif 3127 ∪ cun 3128 ∩ cin 3129 ⊆ wss 3130 ∅c0 3423 {csn 3593 ⟨cop 3596 × cxp 4625 dom cdm 4627 ↾ cres 4629 Rel wrel 4632 ‘cfv 5217 (class class class)co 5875 ℕcn 8919 ndxcnx 12459 sSet csts 12460 Slot cslot 12461

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4122 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-id 4294 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fv 5225 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-slot 12466 df-sets 12469

This theorem is referenced by: ressbasd 12527 mgpplusgg 13134 opprmulfvalg 13242 rmodislmod 13441 setsmstsetg 13984

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