Theorem setsslid 12444

Description: Value of the structure replacement function at a replaced index. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 24-Jan-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
setsslid.e	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
setsslid	⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

Proof of Theorem setsslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsslid.e	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
2	1	simpri 112	. . . 4 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ
3		setsvala 12425	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
4	2, 3	mp3an2 1315	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩) = ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
5	4	fveq2d 5490	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)) = (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})))
6	1	simpli 110	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
7		resexg 4924	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐴 → (𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V)
8		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ 𝑉)
9		opexg 4206	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
10	2, 8, 9	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V)
11		snexg 4163	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V)
12	10, 11	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V)
13		unexg 4421	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∈ V ∧ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∈ V) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
14	7, 12, 13	syl2an2r 585	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ∈ V)
15	2	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
16	6, 14, 15	strnfvnd 12414	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐸‘((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
17		snidg 3605	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ ℕ → (𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)})
18		fvres 5510	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘ndx) ∈ {(𝐸‘ndx)} → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)))
19	2, 17, 18	mp2b 8	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx))
20		resres 4896	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}))
21		incom 3314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ({(𝐸‘ndx)} ∩ (V ∖ {(𝐸‘ndx)}))
22		disjdif 3481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({(𝐸‘ndx)} ∩ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
23	21, 22	eqtri 2186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
24	23	reseq2i 4881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = (𝑊 ↾ ∅)
25		res0 4888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ↾ ∅) = ∅
26	24, 25	eqtri 2186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ↾ ((V ∖ {(𝐸‘ndx)}) ∩ {(𝐸‘ndx)})) = ∅
27	20, 26	eqtri 2186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅
28	27	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = ∅)
29	2	elexi 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸‘ndx) ∈ V
30	8	elexd 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ V)
31		opelxpi 4636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
32	29, 30, 31	sylancr 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V))
33		relsng 4707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ V → (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
34	10, 33	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↔ ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩ ∈ (V × V)))
35	32, 34	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
36		dmsnopg 5075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)})
37	36	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)})
38		eqimss 3196	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = {(𝐸‘ndx)} → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)})
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)})
40		relssres 4922	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∧ dom {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ⊆ {(𝐸‘ndx)}) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
41	35, 39, 40	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
42	28, 41	uneq12d 3277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)})) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}))
43		resundir 4898	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ↾ {(𝐸‘ndx)}) ∪ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ↾ {(𝐸‘ndx)}))
44		un0 3442	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}
45		uncom 3266	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} ∪ ∅) = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
46	44, 45	eqtr3i 2188	. . . . . 6 ⊢ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩} = (∅ ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
47	42, 43, 46	3eqtr4g 2224	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)}) = {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})
48	47	fveq1d 5488	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}) ↾ {(𝐸‘ndx)})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
49	19, 48	eqtr3id 2213	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)))
50		fvsng 5681	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘ndx) ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
51	2, 8, 50	sylancr 411	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ({⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩}‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
52	49, 51	eqtrd 2198	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (((𝑊 ↾ (V ∖ {(𝐸‘ndx)})) ∪ {⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩})‘(𝐸‘ndx)) = 𝐶)
53	5, 16, 52	3eqtrrd 2203	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(𝐸‘ndx), 𝐶⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ∖ cdif 3113   ∪ cun 3114   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  {csn 3576  ⟨cop 3579   × cxp 4602  dom cdm 4604   ↾ cres 4606  Rel wrel 4609  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℕcn 8857  ndxcnx 12391   sSet csts 12392  Slot cslot 12393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-slot 12398  df-sets 12401

This theorem is referenced by:  setsmstsetg  13121