ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsex GIF version

Theorem setsex 12496
Description: Applying the structure replacement function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsex ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Proof of Theorem setsex
StepHypRef Expression
1 setsvala 12495 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
2 resexg 4949 . . . 4 (𝑆𝑉 → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
323ad2ant1 1018 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
4 opexg 4230 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
543adant1 1015 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
6 snexg 4186 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
75, 6syl 14 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
8 unexg 4445 . . 3 (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
93, 7, 8syl2anc 411 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
101, 9eqeltrd 2254 1 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 978  wcel 2148  Vcvv 2739  cdif 3128  cun 3129  {csn 3594  cop 3597  cres 4630  (class class class)co 5877   sSet csts 12462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sets 12471
This theorem is referenced by:  setsabsd  12503  setscom  12504  setsslnid  12516  ressvalsets  12526  ressex  12527  fnmgp  13137  mgpvalg  13138  mgpex  13140  opprvalg  13246  opprex  13250
  Copyright terms: Public domain W3C validator