Theorem setsex 12030

Description: Applying the structure replacement function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsex	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Proof of Theorem setsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvala 12029	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
2		resexg 4867	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
3	2	3ad2ant1 1003	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
4		opexg 4158	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
5	4	3adant1 1000	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
6		snexg 4116	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
8		unexg 4372	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
9	3, 7, 8	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
10	1, 9	eqeltrd 2217	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 963   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   ∖ cdif 3073   ∪ cun 3074  {csn 3532  ⟨cop 3535   ↾ cres 4549  (class class class)co 5782   sSet csts 11996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sets 12005

This theorem is referenced by:  setsabsd  12037  setscom  12038  setsslnid  12049  ressval2  12058