Theorem setsex 12426

Description: Applying the structure replacement function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
setsex	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Proof of Theorem setsex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsvala 12425	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
2		resexg 4924	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
3	2	3ad2ant1 1008	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
4		opexg 4206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
5	4	3adant1 1005	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
6		snexg 4163	. . . 4 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
7	5, 6	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
8		unexg 4421	. . 3 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
9	3, 7, 8	syl2anc 409	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
10	1, 9	eqeltrd 2243	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 968   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ∖ cdif 3113   ∪ cun 3114  {csn 3576  ⟨cop 3579   ↾ cres 4606  (class class class)co 5842   sSet csts 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sets 12401

This theorem is referenced by:  setsabsd  12433  setscom  12434  setsslnid  12445  ressval2  12455