ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsex GIF version

Theorem setsex 12005
Description: Applying the structure replacement function yields a set. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
setsex ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)

Proof of Theorem setsex
StepHypRef Expression
1 setsvala 12004 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}))
2 resexg 4859 . . . 4 (𝑆𝑉 → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
323ad2ant1 1002 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V)
4 opexg 4150 . . . . 5 ((𝐴𝑋𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
543adant1 999 . . . 4 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
6 snexg 4108 . . . 4 (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
75, 6syl 14 . . 3 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V)
8 unexg 4364 . . 3 (((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∈ V ∧ {⟨𝐴, 𝐵⟩} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
93, 7, 8syl2anc 408 . 2 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → ((𝑆 ↾ (V ∖ {𝐴})) ∪ {⟨𝐴, 𝐵⟩}) ∈ V)
101, 9eqeltrd 2216 1 ((𝑆𝑉𝐴𝑋𝐵𝑊) → (𝑆 sSet ⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 962  wcel 1480  Vcvv 2686  cdif 3068  cun 3069  {csn 3527  cop 3530  cres 4541  (class class class)co 5774   sSet csts 11971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sets 11980
This theorem is referenced by:  setsabsd  12012  setscom  12013  setsslnid  12024  ressval2  12033
  Copyright terms: Public domain W3C validator