Theorem setsvalg 12651

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsvalg	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))

Proof of Theorem setsvalg

Dummy variables 𝑒 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
2		elex 2771	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
3		resexg 4983	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V)
4		snexg 4214	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5		unexg 4475	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V)
7		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → 𝑠 = 𝑆)
8		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → 𝑒 = 𝐴)
9	8	sneqd 3632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → {𝑒} = {𝐴})
10	9	dmeqd 4865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → dom {𝑒} = dom {𝐴})
11	10	difeq2d 3278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → (V ∖ dom {𝑒}) = (V ∖ dom {𝐴}))
12	7, 11	reseq12d 4944	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → (𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) = (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})))
13	12, 9	uneq12d 3315	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → ((𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) ∪ {𝑒}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
14		df-sets 12628	. . . 4 ⊢ sSet = (𝑠 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ ((𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) ∪ {𝑒}))
15	13, 14	ovmpoga 6049	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
16	6, 15	mpd3an3 1349	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
17	1, 2, 16	syl2an 289	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∖ cdif 3151   ∪ cun 3152  {csn 3619  dom cdm 4660   ↾ cres 4662  (class class class)co 5919   sSet csts 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sets 12628

This theorem is referenced by:  setsvala  12652  setsfun  12656  setsfun0  12657  setsresg  12659