Theorem setsvalg 13242

Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
setsvalg	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))

Proof of Theorem setsvalg

Dummy variables 𝑒 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2825	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝑆 ∈ V)
2		elex 2825	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐴 ∈ V)
3		resexg 5078	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V)
4		snexg 4297	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5		unexg 4564	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V)
7		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → 𝑠 = 𝑆)
8		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → 𝑒 = 𝐴)
9	8	sneqd 3702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → {𝑒} = {𝐴})
10	9	dmeqd 4958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → dom {𝑒} = dom {𝐴})
11	10	difeq2d 3337	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → (V ∖ dom {𝑒}) = (V ∖ dom {𝐴}))
12	7, 11	reseq12d 5039	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → (𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) = (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})))
13	12, 9	uneq12d 3374	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑒 = 𝐴) → ((𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) ∪ {𝑒}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
14		df-sets 13219	. . . 4 ⊢ sSet = (𝑠 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ ((𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) ∪ {𝑒}))
15	13, 14	ovmpoga 6183	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
16	6, 15	mpd3an3 1375	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
17	1, 2, 16	syl2an 289	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ∖ cdif 3208   ∪ cun 3209  {csn 3689  dom cdm 4749   ↾ cres 4751  (class class class)co 6050   sSet csts 13210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-sets 13219

This theorem is referenced by:  setsvala  13243  setsfun  13247  setsfun0  13248  setsresg  13250  bassetsnn  13269