ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsvalg GIF version

Theorem setsvalg 11832
Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
setsvalg ((𝑆𝑉𝐴𝑊) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))

Proof of Theorem setsvalg
Dummy variables 𝑒 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2668 . 2 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
2 elex 2668 . 2 (𝐴𝑊𝐴 ∈ V)
3 resexg 4817 . . . 4 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V)
4 snexg 4068 . . . 4 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5 unexg 4324 . . . 4 (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V)
63, 4, 5syl2an 285 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V)
7 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → 𝑠 = 𝑆)
8 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → 𝑒 = 𝐴)
98sneqd 3506 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → {𝑒} = {𝐴})
109dmeqd 4701 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → dom {𝑒} = dom {𝐴})
1110difeq2d 3160 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → (V ∖ dom {𝑒}) = (V ∖ dom {𝐴}))
127, 11reseq12d 4778 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → (𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) = (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})))
1312, 9uneq12d 3197 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → ((𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) ∪ {𝑒}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
14 df-sets 11809 . . . 4 sSet = (𝑠 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ ((𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) ∪ {𝑒}))
1513, 14ovmpoga 5854 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
166, 15mpd3an3 1299 . 2 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
171, 2, 16syl2an 285 1 ((𝑆𝑉𝐴𝑊) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  Vcvv 2657  cdif 3034  cun 3035  {csn 3493  dom cdm 4499  cres 4501  (class class class)co 5728   sSet csts 11800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-res 4511  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-sets 11809
This theorem is referenced by:  setsvala  11833  setsfun  11837  setsfun0  11838  setsresg  11840
  Copyright terms: Public domain W3C validator