Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  setsvalg GIF version

Theorem setsvalg 12180
 Description: Value of the structure replacement function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
setsvalg ((𝑆𝑉𝐴𝑊) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))

Proof of Theorem setsvalg
Dummy variables 𝑒 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2723 . 2 (𝑆𝑉𝑆 ∈ V)
2 elex 2723 . 2 (𝐴𝑊𝐴 ∈ V)
3 resexg 4903 . . . 4 (𝑆 ∈ V → (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V)
4 snexg 4144 . . . 4 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5 unexg 4401 . . . 4 (((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∈ V ∧ {𝐴} ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V)
63, 4, 5syl2an 287 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V)
7 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → 𝑠 = 𝑆)
8 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → 𝑒 = 𝐴)
98sneqd 3573 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → {𝑒} = {𝐴})
109dmeqd 4785 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → dom {𝑒} = dom {𝐴})
1110difeq2d 3225 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → (V ∖ dom {𝑒}) = (V ∖ dom {𝐴}))
127, 11reseq12d 4864 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → (𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) = (𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})))
1312, 9uneq12d 3262 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑒 = 𝐴) → ((𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) ∪ {𝑒}) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
14 df-sets 12157 . . . 4 sSet = (𝑠 ∈ V, 𝑒 ∈ V ↦ ((𝑠 ↾ (V ∖ dom {𝑒})) ∪ {𝑒}))
1513, 14ovmpoga 5944 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}) ∈ V) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
166, 15mpd3an3 1320 . 2 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
171, 2, 16syl2an 287 1 ((𝑆𝑉𝐴𝑊) → (𝑆 sSet 𝐴) = ((𝑆 ↾ (V ∖ dom {𝐴})) ∪ {𝐴}))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   ∖ cdif 3099   ∪ cun 3100  {csn 3560  dom cdm 4583   ↾ cres 4585  (class class class)co 5818   sSet csts 12148 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-res 4595  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-sets 12157 This theorem is referenced by:  setsvala  12181  setsfun  12185  setsfun0  12186  setsresg  12188
 Copyright terms: Public domain W3C validator