ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  climres GIF version

Theorem climres 10745
Description: A function restricted to upper integers converges iff the original function converges. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
climres ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))

Proof of Theorem climres
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2089 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 resexg 4765 . . 3 (𝐹𝑉 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ V)
32adantl 272 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ V)
4 simpr 109 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝐹𝑉)
5 simpl 108 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → 𝑀 ∈ ℤ)
6 fvres 5342 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
76adantl 272 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
81, 3, 4, 5, 7climeq 10741 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹𝑉) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ⇝ 𝐴𝐹𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1290  wcel 1439  Vcvv 2620   class class class wbr 3851  cres 4453  cfv 5028  cz 8804  cuz 9073  cli 10720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-apti 7514  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-if 3398  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-clim 10721
This theorem is referenced by:  isumrb  10822  expcnv  10952
  Copyright terms: Public domain W3C validator