Theorem isringid 13831

Description: Properties showing that an element 𝐼 is the unity element of a ring. (Contributed by NM, 7-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isringid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) ↔ 1 = 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥, 1

Proof of Theorem isringid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2		eqid 2206	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
3		eqid 2206	. . 3 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4		rngidm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		rngidm.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringideu 13823	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
7		reurex 2725	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
9		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9, 4	mgpbasg 13732	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11	9, 5	mgpplusgg 13730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	11	oveqd 5968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
13	12	eqeq1d 2215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
14	11	oveqd 5968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
15	14	eqeq1d 2215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 · 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = 𝑥))
16	13, 15	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥) ↔ ((𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = 𝑥)))
17	10, 16	raleqbidv 2719	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = 𝑥)))
18	10, 17	rexeqbidv 2720	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = 𝑥)))
19	8, 18	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = 𝑥))
20	1, 2, 3, 19	ismgmid 13253	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼) = 𝑥)) ↔ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = 𝐼))
21	10	eleq2d 2276	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝐵 ↔ 𝐼 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
22	11	oveqd 5968	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 · 𝑥) = (𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
23	22	eqeq1d 2215	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
24	11	oveqd 5968	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 · 𝐼) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼))
25	24	eqeq1d 2215	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 · 𝐼) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼) = 𝑥))
26	23, 25	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) ↔ ((𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼) = 𝑥)))
27	10, 26	raleqbidv 2719	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼) = 𝑥)))
28	21, 27	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) ↔ (𝐼 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼) = 𝑥))))
29		rngidm.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
30	9, 29	ringidvalg 13767	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
31	30	eqeq1d 2215	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 = 𝐼 ↔ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = 𝐼))
32	20, 28, 31	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) ↔ 1 = 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  ∃!wreu 2487  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  ._rcmulr 12954  0_gc0g 13132  mulGrpcmgp 13726  1_rcur 13765  Ringcrg 13802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-mgp 13727  df-ur 13766  df-ring 13804

This theorem is referenced by:  imasring  13870  subrg1  14037  cnfld1  14378