Theorem isringid 13996

Description: Properties showing that an element 𝐼 is the unity element of a ring. (Contributed by NM, 7-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isringid	⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) ↔ 1 = 𝐼))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥, ·   𝑥, 1

Proof of Theorem isringid

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = (0g‘(mulGrp‘𝑅))
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
4		rngidm.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		rngidm.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
6	4, 5	ringideu 13988	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
7		reurex 2750	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥))
9		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
10	9, 4	mgpbasg 13897	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11	9, 5	mgpplusgg 13895	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
12	11	oveqd 6024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑦 · 𝑥) = (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
13	12	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
14	11	oveqd 6024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦))
15	14	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 · 𝑦) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = 𝑥))
16	13, 15	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥) ↔ ((𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = 𝑥)))
17	10, 16	raleqbidv 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = 𝑥)))
18	10, 17	rexeqbidv 2745	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝑦 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑦) = 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = 𝑥)))
19	8, 18	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∃𝑦 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝑦(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑦) = 𝑥))
20	1, 2, 3, 19	ismgmid 13418	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼) = 𝑥)) ↔ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = 𝐼))
21	10	eleq2d 2299	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 ∈ 𝐵 ↔ 𝐼 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))))
22	11	oveqd 6024	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 · 𝑥) = (𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥))
23	22	eqeq1d 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥))
24	11	oveqd 6024	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 · 𝐼) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼))
25	24	eqeq1d 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑥 · 𝐼) = 𝑥 ↔ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼) = 𝑥))
26	23, 25	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) ↔ ((𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼) = 𝑥)))
27	10, 26	raleqbidv 2744	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼) = 𝑥)))
28	21, 27	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) ↔ (𝐼 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅))((𝐼(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝐼) = 𝑥))))
29		rngidm.u	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
30	9, 29	ringidvalg 13932	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 = (0g‘(mulGrp‘𝑅)))
31	30	eqeq1d 2238	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ( 1 = 𝐼 ↔ (0g‘(mulGrp‘𝑅)) = 𝐼))
32	20, 28, 31	3bitr4d 220	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝐼 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((𝐼 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝐼) = 𝑥)) ↔ 1 = 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ∃!wreu 2510  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  ._rcmulr 13119  0_gc0g 13297  mulGrpcmgp 13891  1_rcur 13930  Ringcrg 13967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltadd 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-ltxr 8194  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-plusg 13131  df-mulr 13132  df-0g 13299  df-mgm 13397  df-sgrp 13443  df-mnd 13458  df-mgp 13892  df-ur 13931  df-ring 13969

This theorem is referenced by:  imasring  14035  subrg1  14203  cnfld1  14544