ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvdsrvald GIF version

Theorem dvdsrvald 13267
Description: Value of the divides relation. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsrvald.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
dvdsrvald.2 (๐œ‘ โ†’ โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…))
dvdsrvald.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
dvdsrvald.3 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
Assertion
Ref Expression
dvdsrvald (๐œ‘ โ†’ โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ, โˆฅ   ๐‘ฅ,๐‘ง,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘ฅ, ยท ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง
Allowed substitution hint:   โˆฅ (๐‘ง)

Proof of Theorem dvdsrvald
Dummy variable ๐‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dvdsr 13263 . . 3 โˆฅr = (๐‘Ÿ โˆˆ V โ†ฆ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
2 fveq2 5517 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) = (Baseโ€˜๐‘…))
32eleq2d 2247 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
4 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (.rโ€˜๐‘Ÿ) = (.rโ€˜๐‘…))
54oveqd 5894 . . . . . . 7 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
65eqeq1d 2186 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
72, 6rexeqbidv 2686 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
83, 7anbi12d 473 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
98opabbidv 4071 . . 3 (๐‘Ÿ = ๐‘… โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Ÿ)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘Ÿ)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
10 dvdsrvald.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
1110elexd 2752 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ V)
12 basfn 12522 . . . . . 6 Base Fn V
13 funfvex 5534 . . . . . . 7 ((Fun Base โˆง ๐‘… โˆˆ dom Base) โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
1413funfni 5318 . . . . . 6 ((Base Fn V โˆง ๐‘… โˆˆ V) โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
1512, 11, 14sylancr 414 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
16 xpexg 4742 . . . . 5 (((Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V โˆง (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) ร— (Baseโ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
1715, 15, 16syl2anc 411 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) ร— (Baseโ€˜๐‘…)) โˆˆ V)
18 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)
1910ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘… โˆˆ SRing)
20 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
21 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
22 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
23 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
2422, 23srgcl 13158 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2519, 20, 21, 24syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2618, 25eqeltrrd 2255 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โˆง (๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2726rexlimdvaa 2595 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
2827imdistanda 448 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))))
2928ssopab2dv 4280 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โІ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))})
30 df-xp 4634 . . . . 5 ((Baseโ€˜๐‘…) ร— (Baseโ€˜๐‘…)) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))}
3129, 30sseqtrrdi 3206 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โІ ((Baseโ€˜๐‘…) ร— (Baseโ€˜๐‘…)))
3217, 31ssexd 4145 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} โˆˆ V)
331, 9, 11, 32fvmptd3 5611 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆฅrโ€˜๐‘…) = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
34 dvdsrvald.2 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆฅ = (โˆฅrโ€˜๐‘…))
35 dvdsrvald.1 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…))
3635eleq2d 2247 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)))
37 dvdsrvald.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ยท = (.rโ€˜๐‘…))
3837oveqd 5894 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ))
3938eqeq1d 2186 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
4035, 39rexeqbidv 2686 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
4136, 40anbi12d 473 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)))
4241opabbidv 4071 . 2 (๐œ‘ โ†’ {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)} = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…) โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)(๐‘ง(.rโ€˜๐‘…)๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
4333, 34, 423eqtr4d 2220 1 (๐œ‘ โ†’ โˆฅ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง โˆƒ๐‘ง โˆˆ ๐ต (๐‘ง ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆƒwrex 2456  Vcvv 2739  {copab 4065   ร— cxp 4626   Fn wfn 5213  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  .rcmulr 12539  SRingcsrg 13151  โˆฅrcdsr 13260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mgp 13136  df-srg 13152  df-dvdsr 13263
This theorem is referenced by:  dvdsrd  13268  dvdsrex  13272  dvdsrpropdg  13321  dvdsrzring  13578
  Copyright terms: Public domain W3C validator