Theorem rexeqdv 2735

Description: Equality deduction for restricted existential quantifier. (Contributed by NM, 14-Jan-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
raleq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rexeqdv	⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem rexeqdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		rexeq 2729	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395  ∃wrex 2509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514

This theorem is referenced by:  rexeqtrdv  2737  rexeqtrrdv  2739  rexeqbidv  2745  rexeqbidva  2747  fnunirn  5903  cbvexfo  5922  fival  7163  nninfwlpoimlemg  7368  nninfwlpoimlemginf  7369  nninfwlpoim  7372  nninfinfwlpo  7373  genipv  7722  exfzdc  10479  infssuzex  10486  nninfdcex  10490  zproddc  12133  ennnfonelemrnh  13030  grppropd  13593  dvdsrpropdg  14154  znunit  14666  cnpfval  14912  plyval  15449  uhgrvtxedgiedgb  15987  wlkvtxedg  16174