ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  issrgid GIF version

Theorem issrgid 13164
Description: Properties showing that an element ๐ผ is the unity element of a semiring. (Contributed by NM, 7-Aug-2013.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
srgidm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
srgidm.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
srgidm.u 1 = (1rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
issrgid (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐ผ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐‘ฅ)) โ†” 1 = ๐ผ))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐ผ   ๐‘ฅ,๐‘…   ๐‘ฅ, ยท   ๐‘ฅ, 1

Proof of Theorem issrgid
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . 3 (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
2 eqid 2177 . . 3 (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
3 eqid 2177 . . 3 (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))
4 srgidm.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
5 srgidm.t . . . . . 6 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
64, 5srgideu 13155 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ))
7 reurex 2691 . . . . 5 (โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ) โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ))
86, 7syl 14 . . . 4 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ))
9 eqid 2177 . . . . . 6 (mulGrpโ€˜๐‘…) = (mulGrpโ€˜๐‘…)
109, 4mgpbasg 13136 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐ต = (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
119, 5mgpplusgg 13134 . . . . . . . . 9 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ยท = (+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
1211oveqd 5892 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = (๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ))
1312eqeq1d 2186 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
1411oveqd 5892 . . . . . . . 8 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ))
1514eqeq1d 2186 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) = ๐‘ฅ))
1613, 15anbi12d 473 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ) โ†” ((๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) = ๐‘ฅ)))
1710, 16raleqbidv 2685 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) = ๐‘ฅ)))
1810, 17rexeqbidv 2686 . . . 4 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐‘ฆ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐‘ฆ) = ๐‘ฅ) โ†” โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) = ๐‘ฅ)))
198, 18mpbid 147 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐‘ฆ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฆ) = ๐‘ฅ))
201, 2, 3, 19ismgmid 12796 . 2 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐ผ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐ผ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐ผ) = ๐‘ฅ)) โ†” (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = ๐ผ))
2110eleq2d 2247 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (๐ผ โˆˆ ๐ต โ†” ๐ผ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))))
2211oveqd 5892 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (๐ผ ยท ๐‘ฅ) = (๐ผ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ))
2322eqeq1d 2186 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โ†” (๐ผ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ))
2411oveqd 5892 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐ผ))
2524eqeq1d 2186 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐ผ) = ๐‘ฅ))
2623, 25anbi12d 473 . . . 4 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (((๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐‘ฅ) โ†” ((๐ผ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐ผ) = ๐‘ฅ)))
2710, 26raleqbidv 2685 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐ผ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐ผ) = ๐‘ฅ)))
2821, 27anbi12d 473 . 2 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐ผ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐‘ฅ)) โ†” (๐ผ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (Baseโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))((๐ผ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ(+gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…))๐ผ) = ๐‘ฅ))))
29 srgidm.u . . . 4 1 = (1rโ€˜๐‘…)
309, 29ringidvalg 13144 . . 3 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ 1 = (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)))
3130eqeq1d 2186 . 2 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ( 1 = ๐ผ โ†” (0gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘…)) = ๐ผ))
3220, 28, 313bitr4d 220 1 (๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ((๐ผ โˆˆ ๐ต โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ((๐ผ ยท ๐‘ฅ) = ๐‘ฅ โˆง (๐‘ฅ ยท ๐ผ) = ๐‘ฅ)) โ†” 1 = ๐ผ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โˆ€wral 2455  โˆƒwrex 2456  โˆƒ!wreu 2457  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  +gcplusg 12536  .rcmulr 12537  0gc0g 12705  mulGrpcmgp 13130  1rcur 13142  SRingcsrg 13146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltadd 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-ltxr 7997  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-plusg 12549  df-mulr 12550  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-mgp 13131  df-ur 13143  df-srg 13147
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator