Theorem raleqbidv 2721

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
raleqbidv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
raleqbidv.2	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
raleqbidv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)

Proof of Theorem raleqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleqbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	raleqdv 2711	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3		raleqbidv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	3	ralbidv 2508	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∀wral 2486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491

This theorem is referenced by:  rspc2vd  3170  ofrfval  6190  fmpox  6309  tfrlemi1  6441  supeq123d  7119  acneq  7345  cvg1nlemcau  11410  cvg1nlemres  11411  cau3lem  11540  fsum2dlemstep  11860  fisumcom2  11864  fprod2dlemstep  12048  fprodcom2fi  12052  pcfac  12788  ptex  13211  prdsex  13216  prdsval  13220  ismgm  13304  mgm1  13317  grpidvalg  13320  gsumress  13342  issgrp  13350  sgrp1  13358  sgrppropd  13360  ismnddef  13365  ismndd  13384  mndpropd  13387  mnd1  13402  ismhm  13408  mhmex  13409  resmhm  13434  isgrp  13453  grppropd  13464  isgrpd2e  13467  grp1  13553  isnsg  13653  nmznsg  13664  isghm  13694  cmnpropd  13746  iscmnd  13749  isrng  13811  rngpropd  13832  dfur2g  13839  issrg  13842  issrgid  13858  isring  13877  iscrng2  13892  ringideu  13894  isringid  13902  ringpropd  13915  ring1  13936  oppr0g  13958  oppr1g  13959  isrhm2d  14042  rhmopp  14053  islring  14069  rrgval  14139  isdomn  14146  opprdomnbg  14151  islmod  14168  islmodd  14170  lmodprop2d  14225  lsssetm  14233  islidlm  14356  rnglidlmmgm  14373  rnglidlmsgrp  14374  mplvalcoe  14567  istopg  14586  restbasg  14755  cnfval  14781  cnpfval  14782  txbas  14845  limccl  15246  sscoll2  16123