Theorem raleqbidv 2706

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
raleqbidv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
raleqbidv.2	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
raleqbidv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)

Proof of Theorem raleqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleqbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	raleqdv 2696	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3		raleqbidv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	3	ralbidv 2494	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∀wral 2472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477

This theorem is referenced by:  rspc2vd  3149  ofrfval  6139  fmpox  6253  tfrlemi1  6385  supeq123d  7050  cvg1nlemcau  11128  cvg1nlemres  11129  cau3lem  11258  fsum2dlemstep  11577  fisumcom2  11581  fprod2dlemstep  11765  fprodcom2fi  11769  pcfac  12488  ptex  12875  prdsex  12880  ismgm  12940  mgm1  12953  grpidvalg  12956  gsumress  12978  issgrp  12986  sgrp1  12994  sgrppropd  12996  ismnddef  12999  ismndd  13018  mndpropd  13021  mnd1  13027  ismhm  13033  mhmex  13034  resmhm  13059  isgrp  13078  grppropd  13089  isgrpd2e  13092  grp1  13178  isnsg  13272  nmznsg  13283  isghm  13313  cmnpropd  13365  iscmnd  13368  isrng  13430  rngpropd  13451  dfur2g  13458  issrg  13461  issrgid  13477  isring  13496  iscrng2  13511  ringideu  13513  isringid  13521  ringpropd  13534  ring1  13555  oppr0g  13577  oppr1g  13578  isrhm2d  13661  rhmopp  13672  islring  13688  rrgval  13758  isdomn  13765  opprdomnbg  13770  islmod  13787  islmodd  13789  lmodprop2d  13844  lsssetm  13852  islidlm  13975  rnglidlmmgm  13992  rnglidlmsgrp  13993  istopg  14167  restbasg  14336  cnfval  14362  cnpfval  14363  txbas  14426  limccl  14813  sscoll2  15480