Theorem raleqbidv 2765

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
raleqbidv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
raleqbidv.2	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
raleqbidv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)

Proof of Theorem raleqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleqbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	raleqdv 2755	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3		raleqbidv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	3	ralbidv 2550	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  ∀wral 2528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533

This theorem is referenced by:  rspc2vd  3216  ofrfval  6301  fmpox  6426  tfrlemi1  6593  supeq123d  7321  acneq  7548  cvg1nlemcau  11728  cvg1nlemres  11729  cau3lem  11858  fsum2dlemstep  12179  fisumcom2  12183  fprod2dlemstep  12367  fprodcom2fi  12371  pcfac  13107  ptex  13595  ismgm  13654  mgm1  13667  grpidvalg  13670  gzsumress  13689  issgrp  13695  sgrp1  13703  sgrppropd  13705  ismnddef  13708  ismndd  13727  mndpropd  13730  mnd1  13739  ismhm  13745  mhmex  13746  resmhm  13771  isgrp  13788  grppropd  13799  isgrpd2e  13802  grp1  13888  isnsg  13982  nmznsg  13993  isghm  14023  cmnpropd  14075  iscmnd  14078  prdsex  14149  prdsval  14150  isrng  14208  rngpropd  14229  dfur2g  14240  issrg  14243  issrgid  14259  isring  14278  iscrng2  14293  ringideu  14295  isringid  14303  ringpropd  14316  ring1  14337  oppr0g  14360  oppr1g  14361  isrhm2d  14445  rhmopp  14456  islring  14472  opprlring  14477  rrgval  14543  isdomn  14551  opprdomnbg  14556  islmod  14600  islmodd  14602  lmodprop2d  14657  lsssetm  14665  islidlm  14788  rnglidlmmgm  14805  rnglidlmsgrp  14806  mplvalcoe  15004  istopg  15023  restbasg  15192  cnfval  15218  cnpfval  15219  txbas  15282  limccl  15683  iswlk  16478  isclwwlk  16549  sscoll2  16928