Theorem raleqbidv 2706

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
raleqbidv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
raleqbidv.2	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
raleqbidv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)

Proof of Theorem raleqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleqbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	raleqdv 2696	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3		raleqbidv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	3	ralbidv 2494	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∀wral 2472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477

This theorem is referenced by:  rspc2vd  3150  ofrfval  6141  fmpox  6255  tfrlemi1  6387  supeq123d  7052  cvg1nlemcau  11131  cvg1nlemres  11132  cau3lem  11261  fsum2dlemstep  11580  fisumcom2  11584  fprod2dlemstep  11768  fprodcom2fi  11772  pcfac  12491  ptex  12878  prdsex  12883  ismgm  12943  mgm1  12956  grpidvalg  12959  gsumress  12981  issgrp  12989  sgrp1  12997  sgrppropd  12999  ismnddef  13002  ismndd  13021  mndpropd  13024  mnd1  13030  ismhm  13036  mhmex  13037  resmhm  13062  isgrp  13081  grppropd  13092  isgrpd2e  13095  grp1  13181  isnsg  13275  nmznsg  13286  isghm  13316  cmnpropd  13368  iscmnd  13371  isrng  13433  rngpropd  13454  dfur2g  13461  issrg  13464  issrgid  13480  isring  13499  iscrng2  13514  ringideu  13516  isringid  13524  ringpropd  13537  ring1  13558  oppr0g  13580  oppr1g  13581  isrhm2d  13664  rhmopp  13675  islring  13691  rrgval  13761  isdomn  13768  opprdomnbg  13773  islmod  13790  islmodd  13792  lmodprop2d  13847  lsssetm  13855  islidlm  13978  rnglidlmmgm  13995  rnglidlmsgrp  13996  istopg  14178  restbasg  14347  cnfval  14373  cnpfval  14374  txbas  14437  limccl  14838  sscoll2  15550