Theorem raleqbidv 2709

Description: Equality deduction for restricted universal quantifier. (Contributed by NM, 6-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
raleqbidv.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
raleqbidv.2	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
raleqbidv	⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)

Proof of Theorem raleqbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleqbidv.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2	1	raleqdv 2699	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
3		raleqbidv.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
4	3	ralbidv 2497	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))
5	2, 4	bitrd 188	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝜓 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝜒))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∀wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  rspc2vd  3153  ofrfval  6148  fmpox  6267  tfrlemi1  6399  supeq123d  7066  acneq  7287  cvg1nlemcau  11168  cvg1nlemres  11169  cau3lem  11298  fsum2dlemstep  11618  fisumcom2  11622  fprod2dlemstep  11806  fprodcom2fi  11810  pcfac  12546  ptex  12968  prdsex  12973  prdsval  12977  ismgm  13061  mgm1  13074  grpidvalg  13077  gsumress  13099  issgrp  13107  sgrp1  13115  sgrppropd  13117  ismnddef  13122  ismndd  13141  mndpropd  13144  mnd1  13159  ismhm  13165  mhmex  13166  resmhm  13191  isgrp  13210  grppropd  13221  isgrpd2e  13224  grp1  13310  isnsg  13410  nmznsg  13421  isghm  13451  cmnpropd  13503  iscmnd  13506  isrng  13568  rngpropd  13589  dfur2g  13596  issrg  13599  issrgid  13615  isring  13634  iscrng2  13649  ringideu  13651  isringid  13659  ringpropd  13672  ring1  13693  oppr0g  13715  oppr1g  13716  isrhm2d  13799  rhmopp  13810  islring  13826  rrgval  13896  isdomn  13903  opprdomnbg  13908  islmod  13925  islmodd  13927  lmodprop2d  13982  lsssetm  13990  islidlm  14113  rnglidlmmgm  14130  rnglidlmsgrp  14131  mplvalcoe  14324  istopg  14343  restbasg  14512  cnfval  14538  cnpfval  14539  txbas  14602  limccl  15003  sscoll2  15742