Theorem mnd1 13157

Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
mnd1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
mnd1	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mnd1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnd1.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	sgrp1 13113	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Smgrp)
3		df-ov 5928	. . . . . 6 ⊢ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
4		opexg 4262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
5	4	anidms 397	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
6		fvsng 5761	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
7	5, 6	mpancom 422	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
8	3, 7	eqtrid 2241	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
9		oveq2 5933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
10		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → 𝑦 = 𝐼)
11	9, 10	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
12		oveq1 5932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
13	12, 10	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → ((𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
14	11, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐼 → (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
15	14	ralsng 3663	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
16	8, 8, 15	mpbir2and 946	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦))
17		oveq1 5932	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
18	17	eqeq1d 2205	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦))
19	18	ovanraleqv 5949	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐼 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
20	19	rexsng 3664	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
21	16, 20	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦))
22		snexg 4218	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} ∈ V)
23		opexg 4262	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
24	5, 23	mpancom 422	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
25		snexg 4218	. . . . . . 7 ⊢ (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
27	1	grpbaseg 12829	. . . . . 6 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {𝐼} = (Base‘𝑀))
28	22, 26, 27	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} = (Base‘𝑀))
29	1	grpplusgg 12830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
30	22, 26, 29	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g‘𝑀))
31	30	oveqd 5942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝑥(+g‘𝑀)𝑦))
32	31	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦))
33	30	oveqd 5942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = (𝑦(+g‘𝑀)𝑥))
34	33	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦 ↔ (𝑦(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑦))
35	32, 34	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑦)))
36	28, 35	raleqbidv 2709	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑦)))
37	28, 36	rexeqbidv 2710	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦) ↔ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑦)))
38	37	anbi2d 464	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ {𝐼}∀𝑦 ∈ {𝐼} ((𝑥{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑥) = 𝑦)) ↔ (𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑦))))
39	2, 21, 38	mpbi2and 945	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑦)))
40		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
41		eqid 2196	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
42	40, 41	ismnddef 13120	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd ↔ (𝑀 ∈ Smgrp ∧ ∃𝑥 ∈ (Base‘𝑀)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑀)((𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+g‘𝑀)𝑥) = 𝑦)))
43	39, 42	sylibr 134	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  Vcvv 2763  {csn 3623  {cpr 3624  ⟨cop 3626  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ndxcnx 12700  Basecbs 12703  +_gcplusg 12780  Smgrpcsgrp 13103  Mndcmnd 13118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119

This theorem is referenced by:  grp1  13308  ring1  13691