ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnd1 GIF version

Theorem mnd1 12846
Description: The (smallest) structure representing a trivial monoid consists of one element. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Feb-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
mnd1.m 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
Assertion
Ref Expression
mnd1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)

Proof of Theorem mnd1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnd1.m . . . 4 𝑀 = {⟨(Baseβ€˜ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
21sgrp1 12815 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Smgrp)
3 df-ov 5877 . . . . . 6 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩)
4 opexg 4228 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
54anidms 397 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
6 fvsng 5712 . . . . . . 7 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
75, 6mpancom 422 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}β€˜βŸ¨πΌ, 𝐼⟩) = 𝐼)
83, 7eqtrid 2222 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
9 oveq2 5882 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐼 β†’ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
10 id 19 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐼 β†’ 𝑦 = 𝐼)
119, 10eqeq12d 2192 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐼 β†’ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
12 oveq1 5881 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝐼 β†’ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
1312, 10eqeq12d 2192 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐼 β†’ ((𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼))
1411, 13anbi12d 473 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐼 β†’ (((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
1514ralsng 3632 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦) ↔ ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼 ∧ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)))
168, 8, 15mpbir2and 944 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦))
17 oveq1 5881 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦))
1817eqeq1d 2186 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐼 β†’ ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦))
1918ovanraleqv 5898 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐼 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
2019rexsng 3633 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝑦)))
2116, 20mpbird 167 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦))
22 snexg 4184 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {𝐼} ∈ V)
23 opexg 4228 . . . . . . . 8 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
245, 23mpancom 422 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
25 snexg 4184 . . . . . . 7 (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
2624, 25syl 14 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
271grpbaseg 12584 . . . . . 6 (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) β†’ {𝐼} = (Baseβ€˜π‘€))
2822, 26, 27syl2anc 411 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {𝐼} = (Baseβ€˜π‘€))
291grpplusgg 12585 . . . . . . . . . 10 (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
3022, 26, 29syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+gβ€˜π‘€))
3130oveqd 5891 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦))
3231eqeq1d 2186 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ↔ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = 𝑦))
3330oveqd 5891 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯))
3433eqeq1d 2186 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦 ↔ (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = 𝑦))
3532, 34anbi12d 473 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦) ↔ ((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = 𝑦)))
3628, 35raleqbidv 2684 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = 𝑦)))
3728, 36rexeqbidv 2685 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = 𝑦)))
3837anbi2d 464 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((𝑀 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ {𝐼}βˆ€π‘¦ ∈ {𝐼} ((π‘₯{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}π‘₯) = 𝑦)) ↔ (𝑀 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = 𝑦))))
392, 21, 38mpbi2and 943 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑀 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = 𝑦)))
40 eqid 2177 . . 3 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
41 eqid 2177 . . 3 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
4240, 41ismnddef 12818 . 2 (𝑀 ∈ Mnd ↔ (𝑀 ∈ Smgrp ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜π‘€)((π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦(+gβ€˜π‘€)π‘₯) = 𝑦)))
4339, 42sylibr 134 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  Vcvv 2737  {csn 3592  {cpr 3593  βŸ¨cop 3595  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  ndxcnx 12458  Basecbs 12461  +gcplusg 12535  Smgrpcsgrp 12806  Mndcmnd 12816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-ov 5877  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-ltxr 7996  df-inn 8919  df-2 8977  df-ndx 12464  df-slot 12465  df-base 12467  df-plusg 12548  df-mgm 12774  df-sgrp 12807  df-mnd 12817
This theorem is referenced by:  grp1  12975  ring1  13234
  Copyright terms: Public domain W3C validator