Theorem ss1o0el1o 6974

Description: Reformulation of ss1o0el1 4230 using 1_o instead of {∅}. (Contributed by BJ, 9-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ss1o0el1o	⊢ (𝐴 ⊆ 1o → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = 1o))

Proof of Theorem ss1o0el1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 6487	. . . 4 ⊢ 1o = {∅}
2	1	eqcomi 2200	. . 3 ⊢ {∅} = 1o
3	2	sseq2i 3210	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ {∅} ↔ 𝐴 ⊆ 1o)
4		ss1o0el1 4230	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ {∅} → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = {∅}))
5	2	eqeq2i 2207	. . 3 ⊢ (𝐴 = {∅} ↔ 𝐴 = 1o)
6	4, 5	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ {∅} → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = 1o))
7	3, 6	sylbir 135	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 1o → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = 1o))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450  {csn 3622  1_oc1o 6467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-nul 4159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-suc 4406  df-1o 6474

This theorem is referenced by:  pw1dc1  6975