Theorem ss2in 3437

Description: Intersection of subclasses. (Contributed by NM, 5-May-2000.)

Assertion

Ref	Expression
ss2in	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))

Proof of Theorem ss2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrin 3434	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐶))
2		sslin 3435	. 2 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝐷 → (𝐵 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))
3	1, 2	sylan9ss 3241	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐷) → (𝐴 ∩ 𝐶) ⊆ (𝐵 ∩ 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214

This theorem is referenced by:  casefun  7327  caseinj  7331  djufun  7346  djuinj  7348  strleund  13247  strleun  13248  tgcl  14855  innei  14954  blin2  15223  vtxdfifiun  16218