Theorem djuinj 7083

Description: The "domain-disjoint-union" of two injective relations with disjoint ranges is an injective relation. (Contributed by BJ, 10-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
djuinj.r	⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑅)
djuinj.s	⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑆)
djuinj.disj	⊢ (𝜑 → (ran 𝑅 ∩ ran 𝑆) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
djuinj	⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑅 ⊔d 𝑆))

Proof of Theorem djuinj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inlresf1 7038	. . . . . . 7 ⊢ (inl ↾ dom 𝑅):dom 𝑅–1-1→(dom 𝑅 ⊔ 𝐴)
2		f1fun 5406	. . . . . . 7 ⊢ ((inl ↾ dom 𝑅):dom 𝑅–1-1→(dom 𝑅 ⊔ 𝐴) → Fun (inl ↾ dom 𝑅))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun (inl ↾ dom 𝑅)
4		funcnvcnv 5257	. . . . . 6 ⊢ (Fun (inl ↾ dom 𝑅) → Fun ◡◡(inl ↾ dom 𝑅))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ◡◡(inl ↾ dom 𝑅)
6		djuinj.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑅)
7		funco 5238	. . . . 5 ⊢ ((Fun ◡◡(inl ↾ dom 𝑅) ∧ Fun ◡𝑅) → Fun (◡◡(inl ↾ dom 𝑅) ∘ ◡𝑅))
8	5, 6, 7	sylancr 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (◡◡(inl ↾ dom 𝑅) ∘ ◡𝑅))
9		cnvco 4796	. . . . 5 ⊢ ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) = (◡◡(inl ↾ dom 𝑅) ∘ ◡𝑅)
10	9	funeqi 5219	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ↔ Fun (◡◡(inl ↾ dom 𝑅) ∘ ◡𝑅))
11	8, 10	sylibr 133	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)))
12		inrresf1 7039	. . . . . . 7 ⊢ (inr ↾ dom 𝑆):dom 𝑆–1-1→(𝐴 ⊔ dom 𝑆)
13		f1fun 5406	. . . . . . 7 ⊢ ((inr ↾ dom 𝑆):dom 𝑆–1-1→(𝐴 ⊔ dom 𝑆) → Fun (inr ↾ dom 𝑆))
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ Fun (inr ↾ dom 𝑆)
15		funcnvcnv 5257	. . . . . 6 ⊢ (Fun (inr ↾ dom 𝑆) → Fun ◡◡(inr ↾ dom 𝑆))
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ◡◡(inr ↾ dom 𝑆)
17		djuinj.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Fun ◡𝑆)
18		funco 5238	. . . . 5 ⊢ ((Fun ◡◡(inr ↾ dom 𝑆) ∧ Fun ◡𝑆) → Fun (◡◡(inr ↾ dom 𝑆) ∘ ◡𝑆))
19	16, 17, 18	sylancr 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (◡◡(inr ↾ dom 𝑆) ∘ ◡𝑆))
20		cnvco 4796	. . . . 5 ⊢ ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)) = (◡◡(inr ↾ dom 𝑆) ∘ ◡𝑆)
21	20	funeqi 5219	. . . 4 ⊢ (Fun ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)) ↔ Fun (◡◡(inr ↾ dom 𝑆) ∘ ◡𝑆))
22	19, 21	sylibr 133	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)))
23		df-rn 4622	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) = dom ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅))
24		rncoss 4881	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ⊆ ran 𝑅
25	23, 24	eqsstrri 3180	. . . . . 6 ⊢ dom ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ⊆ ran 𝑅
26		df-rn 4622	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)) = dom ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))
27		rncoss 4881	. . . . . . 7 ⊢ ran (𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)) ⊆ ran 𝑆
28	26, 27	eqsstrri 3180	. . . . . 6 ⊢ dom ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)) ⊆ ran 𝑆
29		ss2in 3355	. . . . . 6 ⊢ ((dom ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ⊆ ran 𝑅 ∧ dom ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)) ⊆ ran 𝑆) → (dom ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∩ dom ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))) ⊆ (ran 𝑅 ∩ ran 𝑆))
30	25, 28, 29	mp2an 424	. . . . 5 ⊢ (dom ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∩ dom ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))) ⊆ (ran 𝑅 ∩ ran 𝑆)
31		djuinj.disj	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ran 𝑅 ∩ ran 𝑆) = ∅)
32	30, 31	sseqtrid 3197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∩ dom ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))) ⊆ ∅)
33		ss0 3455	. . . 4 ⊢ ((dom ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∩ dom ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))) ⊆ ∅ → (dom ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∩ dom ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))) = ∅)
34	32, 33	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∩ dom ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))) = ∅)
35		funun 5242	. . 3 ⊢ (((Fun ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∧ Fun ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))) ∧ (dom ◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∩ dom ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))) = ∅) → Fun (◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∪ ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))))
36	11, 22, 34, 35	syl21anc 1232	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun (◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∪ ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))))
37		df-djud 7080	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ⊔d 𝑆) = ((𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∪ (𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)))
38	37	cnveqi 4786	. . . 4 ⊢ ◡(𝑅 ⊔d 𝑆) = ◡((𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∪ (𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)))
39		cnvun 5016	. . . 4 ⊢ ◡((𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∪ (𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))) = (◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∪ ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)))
40	38, 39	eqtri 2191	. . 3 ⊢ ◡(𝑅 ⊔d 𝑆) = (◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∪ ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆)))
41	40	funeqi 5219	. 2 ⊢ (Fun ◡(𝑅 ⊔d 𝑆) ↔ Fun (◡(𝑅 ∘ ◡(inl ↾ dom 𝑅)) ∪ ◡(𝑆 ∘ ◡(inr ↾ dom 𝑆))))
42	36, 41	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → Fun ◡(𝑅 ⊔d 𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  ^◡ccnv 4610  dom cdm 4611  ran crn 4612   ↾ cres 4613   ∘ ccom 4615  Fun wfun 5192  –1-1→wf1 5195   ⊔ cdju 7014  inlcinl 7022  inrcinr 7023   ⊔_d cdjud 7079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-1o 6395  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-djud 7080

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