Theorem strleund 12562

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleund.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
strleund.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩)
strleund.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
strleund	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Proof of Theorem strleund

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleund.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		isstructim 12476	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
4	3	simp1d 1009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	4	simp1d 1009	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		strleund.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩)
7		isstructim 12476	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
9	8	simp1d 1009	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
10	9	simp2d 1010	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
11	5	nnred 8932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	9	simp1d 1009	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
13	12	nnred 8932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	10	nnred 8932	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
15	4	simp2d 1010	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnred 8932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	4	simp3d 1011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
18		strleund.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
19	16, 13, 18	ltled 8076	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
20	11, 16, 13, 17, 19	letrd 8081	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
21	9	simp3d 1011	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
22	11, 13, 14, 20, 21	letrd 8081	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐷)
23	3	simp2d 1010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
24	8	simp2d 1010	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
25		difss 3262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
26		dmss 4827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
27	25, 26	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
28	3	simp3d 1011	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
29	27, 28	sstrd 3166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵))
30		difss 3262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
31		dmss 4827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
32	30, 31	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
33	8	simp3d 1011	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
34	32, 33	sstrd 3166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷))
35		ss2in 3364	. . . . . 6 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
36	29, 34, 35	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
37		fzdisj 10052	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
38	18, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
39		sseq0 3465	. . . . 5 ⊢ (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
40	36, 38, 39	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
41		funun 5261	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
42	23, 24, 40, 41	syl21anc 1237	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
43		difundir 3389	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
44	43	funeqi 5238	. . 3 ⊢ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
45	42, 44	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}))
46		structex 12474	. . . 4 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐹 ∈ V)
47	1, 46	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
48		structex 12474	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐺 ∈ V)
49	6, 48	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
50		unexg 4444	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
51	47, 49, 50	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
52		dmun 4835	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
53	15	nnzd 9374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
54	10	nnzd 9374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
55	16, 13, 14, 19, 21	letrd 8081	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
56		eluz2 9534	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐷))
57	53, 54, 55, 56	syl3anbrc 1181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
58		fzss2 10064	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
59	57, 58	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
60	28, 59	sstrd 3166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷))
61	5	nnzd 9374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
62	12	nnzd 9374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
63		eluz2 9534	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
64	61, 62, 20, 63	syl3anbrc 1181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
65		fzss1 10063	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
67	33, 66	sstrd 3166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷))
68	60, 67	unssd 3312	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
69	52, 68	eqsstrid 3202	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
70		isstructr 12477	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷) ∧ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ∧ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))) → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)
71	5, 10, 22, 45, 51, 69, 70	syl33anc 1253	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738   ∖ cdif 3127   ∪ cun 3128   ∩ cin 3129   ⊆ wss 3130  ∅c0 3423  {csn 3593  ⟨cop 3596   class class class wbr 4004  dom cdm 4627  Fun wfun 5211  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875   < clt 7992   ≤ cle 7993  ℕcn 8919  ℤcz 9253  ℤ_≥cuz 9528  ...cfz 10008   Struct cstr 12458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-addcom 7911  ax-addass 7913  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-fz 10009  df-struct 12464

This theorem is referenced by:  strle2g  12566  strle3g  12567  srngstrd  12604  lmodstrd  12622  ipsstrd  12634