Theorem strleund 13191

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleund.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
strleund.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩)
strleund.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
strleund	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Proof of Theorem strleund

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleund.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		isstructim 13101	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
4	3	simp1d 1035	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	4	simp1d 1035	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		strleund.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩)
7		isstructim 13101	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
9	8	simp1d 1035	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
10	9	simp2d 1036	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
11	5	nnred 9156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	9	simp1d 1035	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
13	12	nnred 9156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	10	nnred 9156	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
15	4	simp2d 1036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnred 9156	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	4	simp3d 1037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
18		strleund.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
19	16, 13, 18	ltled 8298	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
20	11, 16, 13, 17, 19	letrd 8303	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
21	9	simp3d 1037	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
22	11, 13, 14, 20, 21	letrd 8303	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐷)
23	3	simp2d 1036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
24	8	simp2d 1036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
25		difss 3333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
26		dmss 4930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
27	25, 26	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
28	3	simp3d 1037	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
29	27, 28	sstrd 3237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵))
30		difss 3333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
31		dmss 4930	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
32	30, 31	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
33	8	simp3d 1037	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
34	32, 33	sstrd 3237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷))
35		ss2in 3435	. . . . . 6 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
36	29, 34, 35	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
37		fzdisj 10287	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
38	18, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
39		sseq0 3536	. . . . 5 ⊢ (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
40	36, 38, 39	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
41		funun 5371	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
42	23, 24, 40, 41	syl21anc 1272	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
43		difundir 3460	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
44	43	funeqi 5347	. . 3 ⊢ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
45	42, 44	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}))
46		structex 13099	. . . 4 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐹 ∈ V)
47	1, 46	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
48		structex 13099	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐺 ∈ V)
49	6, 48	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
50		unexg 4540	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
51	47, 49, 50	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
52		dmun 4938	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
53	15	nnzd 9601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
54	10	nnzd 9601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
55	16, 13, 14, 19, 21	letrd 8303	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
56		eluz2 9761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐷))
57	53, 54, 55, 56	syl3anbrc 1207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
58		fzss2 10299	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
59	57, 58	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
60	28, 59	sstrd 3237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷))
61	5	nnzd 9601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
62	12	nnzd 9601	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
63		eluz2 9761	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
64	61, 62, 20, 63	syl3anbrc 1207	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
65		fzss1 10298	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
67	33, 66	sstrd 3237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷))
68	60, 67	unssd 3383	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
69	52, 68	eqsstrid 3273	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
70		isstructr 13102	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷) ∧ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ∧ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))) → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)
71	5, 10, 22, 45, 51, 69, 70	syl33anc 1288	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∖ cdif 3197   ∪ cun 3198   ∩ cin 3199   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {csn 3669  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  dom cdm 4725  Fun wfun 5320  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018   < clt 8214   ≤ cle 8215  ℕcn 9143  ℤcz 9479  ℤ_≥cuz 9755  ...cfz 10243   Struct cstr 13083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-struct 13089

This theorem is referenced by:  strle2g  13195  strle3g  13196  srngstrd  13234  lmodstrd  13252  ipsstrd  13264  imasvalstrd  13358  prdsvalstrd  13359  psrvalstrd  14688