Theorem strleund 13440

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleund.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
strleund.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩)
strleund.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
strleund	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Proof of Theorem strleund

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleund.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		isstructim 13349	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
4	3	simp1d 1040	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	4	simp1d 1040	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		strleund.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩)
7		isstructim 13349	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
9	8	simp1d 1040	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
10	9	simp2d 1041	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
11	5	nnred 9300	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	9	simp1d 1040	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
13	12	nnred 9300	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	10	nnred 9300	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
15	4	simp2d 1041	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnred 9300	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	4	simp3d 1042	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
18		strleund.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
19	16, 13, 18	ltled 8439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
20	11, 16, 13, 17, 19	letrd 8444	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
21	9	simp3d 1042	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
22	11, 13, 14, 20, 21	letrd 8444	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐷)
23	3	simp2d 1041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
24	8	simp2d 1041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
25		difss 3355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
26		dmss 4978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
27	25, 26	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
28	3	simp3d 1042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
29	27, 28	sstrd 3258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵))
30		difss 3355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
31		dmss 4978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
32	30, 31	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
33	8	simp3d 1042	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
34	32, 33	sstrd 3258	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷))
35		ss2in 3459	. . . . . 6 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
36	29, 34, 35	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
37		fzdisj 10440	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
38	18, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
39		sseq0 3565	. . . . 5 ⊢ (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
40	36, 38, 39	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
41		funun 5420	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
42	23, 24, 40, 41	syl21anc 1277	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
43		difundir 3484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
44	43	funeqi 5396	. . 3 ⊢ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
45	42, 44	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}))
46		structex 13347	. . . 4 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐹 ∈ V)
47	1, 46	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
48		structex 13347	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐺 ∈ V)
49	6, 48	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
50		unexg 4587	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
51	47, 49, 50	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
52		dmun 4986	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
53	15	nnzd 9750	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
54	10	nnzd 9750	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
55	16, 13, 14, 19, 21	letrd 8444	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
56		eluz2 9910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐷))
57	53, 54, 55, 56	syl3anbrc 1212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
58		fzss2 10453	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
59	57, 58	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
60	28, 59	sstrd 3258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷))
61	5	nnzd 9750	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
62	12	nnzd 9750	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
63		eluz2 9910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
64	61, 62, 20, 63	syl3anbrc 1212	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
65		fzss1 10452	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
67	33, 66	sstrd 3258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷))
68	60, 67	unssd 3405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
69	52, 68	eqsstrid 3294	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
70		isstructr 13350	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷) ∧ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ∧ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))) → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)
71	5, 10, 22, 45, 51, 69, 70	syl33anc 1293	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  {csn 3708  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  dom cdm 4772  Fun wfun 5369  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   < clt 8354   ≤ cle 8355  ℕcn 9287  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ...cfz 10394   Struct cstr 13331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337

This theorem is referenced by:  strle2g  13444  strle3g  13445  srngstrd  13483  lmodstrd  13501  ipsstrd  13513  imasvalstrd  13602  prdsvalstrd  13603  psrvalstrd  15035