Theorem strleund 13308

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleund.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
strleund.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩)
strleund.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
strleund	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Proof of Theorem strleund

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleund.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		isstructim 13218	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
4	3	simp1d 1036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	4	simp1d 1036	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		strleund.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩)
7		isstructim 13218	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
9	8	simp1d 1036	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
10	9	simp2d 1037	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
11	5	nnred 9249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	9	simp1d 1036	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
13	12	nnred 9249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	10	nnred 9249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
15	4	simp2d 1037	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnred 9249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	4	simp3d 1038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
18		strleund.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
19	16, 13, 18	ltled 8391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
20	11, 16, 13, 17, 19	letrd 8396	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
21	9	simp3d 1038	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
22	11, 13, 14, 20, 21	letrd 8396	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐷)
23	3	simp2d 1037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
24	8	simp2d 1037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
25		difss 3344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
26		dmss 4954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
27	25, 26	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
28	3	simp3d 1038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
29	27, 28	sstrd 3247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵))
30		difss 3344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
31		dmss 4954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
32	30, 31	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
33	8	simp3d 1038	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
34	32, 33	sstrd 3247	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷))
35		ss2in 3448	. . . . . 6 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
36	29, 34, 35	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
37		fzdisj 10385	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
38	18, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
39		sseq0 3549	. . . . 5 ⊢ (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
40	36, 38, 39	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
41		funun 5396	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
42	23, 24, 40, 41	syl21anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
43		difundir 3473	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
44	43	funeqi 5372	. . 3 ⊢ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
45	42, 44	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}))
46		structex 13216	. . . 4 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐹 ∈ V)
47	1, 46	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
48		structex 13216	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐺 ∈ V)
49	6, 48	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
50		unexg 4563	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
51	47, 49, 50	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
52		dmun 4962	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
53	15	nnzd 9698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
54	10	nnzd 9698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
55	16, 13, 14, 19, 21	letrd 8396	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
56		eluz2 9858	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐷))
57	53, 54, 55, 56	syl3anbrc 1208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
58		fzss2 10397	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
59	57, 58	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
60	28, 59	sstrd 3247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷))
61	5	nnzd 9698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
62	12	nnzd 9698	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
63		eluz2 9858	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
64	61, 62, 20, 63	syl3anbrc 1208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
65		fzss1 10396	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
67	33, 66	sstrd 3247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷))
68	60, 67	unssd 3394	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
69	52, 68	eqsstrid 3283	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
70		isstructr 13219	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷) ∧ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ∧ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))) → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)
71	5, 10, 22, 45, 51, 69, 70	syl33anc 1289	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ∖ cdif 3207   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209   ⊆ wss 3210  ∅c0 3507  {csn 3688  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108  dom cdm 4748  Fun wfun 5345  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   < clt 8307   ≤ cle 8308  ℕcn 9236  ℤcz 9576  ℤ_≥cuz 9852  ...cfz 10341   Struct cstr 13200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-fz 10342  df-struct 13206

This theorem is referenced by:  strle2g  13312  strle3g  13313  srngstrd  13351  lmodstrd  13369  ipsstrd  13381  imasvalstrd  13475  prdsvalstrd  13476  psrvalstrd  14808