Theorem strleund 12506

Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 27-Jan-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
strleund.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
strleund.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩)
strleund.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
strleund	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Proof of Theorem strleund

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strleund.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		isstructim 12430	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
3	1, 2	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
4	3	simp1d 1004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵))
5	4	simp1d 1004	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
6		strleund.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩)
7		isstructim 12430	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
9	8	simp1d 1004	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ≤ 𝐷))
10	9	simp2d 1005	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
11	5	nnred 8891	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
12	9	simp1d 1004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℕ)
13	12	nnred 8891	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
14	10	nnred 8891	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
15	4	simp2d 1005	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
16	15	nnred 8891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
17	4	simp3d 1006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
18		strleund.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
19	16, 13, 18	ltled 8038	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
20	11, 16, 13, 17, 19	letrd 8043	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)
21	9	simp3d 1006	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
22	11, 13, 14, 20, 21	letrd 8043	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐷)
23	3	simp2d 1005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∖ {∅}))
24	8	simp2d 1005	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
25		difss 3253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
26		dmss 4810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
27	25, 26	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
28	3	simp3d 1006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
29	27, 28	sstrd 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵))
30		difss 3253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
31		dmss 4810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
32	30, 31	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
33	8	simp3d 1006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
34	32, 33	sstrd 3157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷))
35		ss2in 3355	. . . . . 6 ⊢ ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
36	29, 34, 35	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
37		fzdisj 10008	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
38	18, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
39		sseq0 3456	. . . . 5 ⊢ (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
40	36, 38, 39	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
41		funun 5242	. . . 4 ⊢ (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
42	23, 24, 40, 41	syl21anc 1232	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
43		difundir 3380	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
44	43	funeqi 5219	. . 3 ⊢ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
45	42, 44	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}))
46		structex 12428	. . . 4 ⊢ (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐹 ∈ V)
47	1, 46	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
48		structex 12428	. . . 4 ⊢ (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐺 ∈ V)
49	6, 48	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
50		unexg 4428	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
51	47, 49, 50	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
52		dmun 4818	. . 3 ⊢ dom (𝐹 ∪ 𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
53	15	nnzd 9333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
54	10	nnzd 9333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
55	16, 13, 14, 19, 21	letrd 8043	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐷)
56		eluz2 9493	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≤ 𝐷))
57	53, 54, 55, 56	syl3anbrc 1176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
58		fzss2 10020	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
59	57, 58	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
60	28, 59	sstrd 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷))
61	5	nnzd 9333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
62	12	nnzd 9333	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
63		eluz2 9493	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶))
64	61, 62, 20, 63	syl3anbrc 1176	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
65		fzss1 10019	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
66	64, 65	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
67	33, 66	sstrd 3157	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷))
68	60, 67	unssd 3303	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
69	52, 68	eqsstrid 3193	. 2 ⊢ (𝜑 → dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
70		isstructr 12431	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≤ 𝐷) ∧ (Fun ((𝐹 ∪ 𝐺) ∖ {∅}) ∧ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ dom (𝐹 ∪ 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))) → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)
71	5, 10, 22, 45, 51, 69, 70	syl33anc 1248	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∪ 𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 973   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118   ∪ cun 3119   ∩ cin 3120   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  {csn 3583  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  dom cdm 4611  Fun wfun 5192  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℕcn 8878  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965   Struct cstr 12412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-struct 12418

This theorem is referenced by:  strle2g  12509  strle3g  12510  srngstrd  12540  lmodstrd  12551  ipsstrd  12559