Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strleun GIF version

Theorem strleun 11732
 Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
strleun.g 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
strleun.l 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
strleun (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
2 isstructim 11657 . . . . . 6 (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
31, 2ax-mp 7 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
43simp1i 955 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵)
54simp1i 955 . . 3 𝐴 ∈ ℕ
6 strleun.g . . . . . 6 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
7 isstructim 11657 . . . . . 6 (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
86, 7ax-mp 7 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
98simp1i 955 . . . 4 (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷)
109simp2i 956 . . 3 𝐷 ∈ ℕ
114simp3i 957 . . . . 5 𝐴𝐵
124simp2i 956 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ
1312nnrei 8529 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
149simp1i 955 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ
1514nnrei 8529 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
16 strleun.l . . . . . 6 𝐵 < 𝐶
1713, 15, 16ltleii 7684 . . . . 5 𝐵𝐶
185nnrei 8529 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
1918, 13, 15letri 7689 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
2011, 17, 19mp2an 418 . . . 4 𝐴𝐶
219simp3i 957 . . . 4 𝐶𝐷
2210nnrei 8529 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
2318, 15, 22letri 7689 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐶𝐷) → 𝐴𝐷)
2420, 21, 23mp2an 418 . . 3 𝐴𝐷
255, 10, 243pm3.2i 1124 . 2 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷)
263simp2i 956 . . . . . 6 Fun (𝐹 ∖ {∅})
278simp2i 956 . . . . . 6 Fun (𝐺 ∖ {∅})
2826, 27pm3.2i 267 . . . . 5 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29 difss 3141 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30 dmss 4666 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
3129, 30ax-mp 7 . . . . . . . 8 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
323simp3i 957 . . . . . . . 8 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
3331, 32sstri 3048 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34 difss 3141 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35 dmss 4666 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
3634, 35ax-mp 7 . . . . . . . 8 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
378simp3i 957 . . . . . . . 8 dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
3836, 37sstri 3048 . . . . . . 7 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39 ss2in 3243 . . . . . . 7 ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
4033, 38, 39mp2an 418 . . . . . 6 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41 fzdisj 9615 . . . . . . 7 (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
4216, 41ax-mp 7 . . . . . 6 ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43 sseq0 3343 . . . . . 6 (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
4440, 42, 43mp2an 418 . . . . 5 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45 funun 5092 . . . . 5 (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4628, 44, 45mp2an 418 . . . 4 Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47 difundir 3268 . . . . 5 ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
4847funeqi 5070 . . . 4 (Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4946, 48mpbir 145 . . 3 Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅})
50 structex 11655 . . . . 5 (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐹 ∈ V)
511, 50ax-mp 7 . . . 4 𝐹 ∈ V
52 structex 11655 . . . . 5 (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐺 ∈ V)
536, 52ax-mp 7 . . . 4 𝐺 ∈ V
5451, 53unex 4291 . . 3 (𝐹𝐺) ∈ V
55 dmun 4674 . . . 4 dom (𝐹𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
5612nnzi 8869 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℤ
5710nnzi 8869 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℤ
5813, 15, 22letri 7689 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐶𝐶𝐷) → 𝐵𝐷)
5917, 21, 58mp2an 418 . . . . . . . 8 𝐵𝐷
60 eluz2 9124 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐷))
6156, 57, 59, 60mpbir3an 1128 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)
62 fzss2 9627 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
6361, 62ax-mp 7 . . . . . 6 (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
6432, 63sstri 3048 . . . . 5 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
655nnzi 8869 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℤ
6614nnzi 8869 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℤ
67 eluz2 9124 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
6865, 66, 20, 67mpbir3an 1128 . . . . . . 7 𝐶 ∈ (ℤ𝐴)
69 fzss1 9626 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
7068, 69ax-mp 7 . . . . . 6 (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
7137, 70sstri 3048 . . . . 5 dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
7264, 71unssi 3190 . . . 4 (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
7355, 72eqsstri 3071 . . 3 dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
7449, 54, 733pm3.2i 1124 . 2 (Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
75 isstructr 11658 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷) ∧ (Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))) → (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)
7625, 74, 75mp2an 418 1 (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 103   ∧ w3a 927   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  Vcvv 2633   ∖ cdif 3010   ∪ cun 3011   ∩ cin 3012   ⊆ wss 3013  ∅c0 3302  {csn 3466  ⟨cop 3469   class class class wbr 3867  dom cdm 4467  Fun wfun 5043  ‘cfv 5049  (class class class)co 5690   < clt 7619   ≤ cle 7620  ℕcn 8520  ℤcz 8848  ℤ≥cuz 9118  ...cfz 9573   Struct cstr 11639 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-addcom 7542  ax-addass 7544  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-ltadd 7558 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-inn 8521  df-z 8849  df-uz 9119  df-fz 9574  df-struct 11645 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator