ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strleun GIF version

Theorem strleun 12062
Description: Combine two structures into one. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strleun.f 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
strleun.g 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
strleun.l 𝐵 < 𝐶
Assertion
Ref Expression
strleun (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷

Proof of Theorem strleun
StepHypRef Expression
1 strleun.f . . . . . 6 𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵
2 isstructim 11987 . . . . . 6 (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)))
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵) ∧ Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵))
43simp1i 990 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐵)
54simp1i 990 . . 3 𝐴 ∈ ℕ
6 strleun.g . . . . . 6 𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷
7 isstructim 11987 . . . . . 6 (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)))
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷))
98simp1i 990 . . . 4 (𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐶𝐷)
109simp2i 991 . . 3 𝐷 ∈ ℕ
114simp3i 992 . . . . 5 𝐴𝐵
124simp2i 991 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ
1312nnrei 8741 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
149simp1i 990 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ
1514nnrei 8741 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
16 strleun.l . . . . . 6 𝐵 < 𝐶
1713, 15, 16ltleii 7878 . . . . 5 𝐵𝐶
185nnrei 8741 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
1918, 13, 15letri 7883 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
2011, 17, 19mp2an 422 . . . 4 𝐴𝐶
219simp3i 992 . . . 4 𝐶𝐷
2210nnrei 8741 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
2318, 15, 22letri 7883 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐶𝐷) → 𝐴𝐷)
2420, 21, 23mp2an 422 . . 3 𝐴𝐷
255, 10, 243pm3.2i 1159 . 2 (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷)
263simp2i 991 . . . . . 6 Fun (𝐹 ∖ {∅})
278simp2i 991 . . . . . 6 Fun (𝐺 ∖ {∅})
2826, 27pm3.2i 270 . . . . 5 (Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}))
29 difss 3202 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹
30 dmss 4738 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∖ {∅}) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹)
3129, 30ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐹
323simp3i 992 . . . . . . . 8 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐵)
3331, 32sstri 3106 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵)
34 difss 3202 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺
35 dmss 4738 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∖ {∅}) ⊆ 𝐺 → dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺)
3634, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ dom 𝐺
378simp3i 992 . . . . . . . 8 dom 𝐺 ⊆ (𝐶...𝐷)
3836, 37sstri 3106 . . . . . . 7 dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)
39 ss2in 3304 . . . . . . 7 ((dom (𝐹 ∖ {∅}) ⊆ (𝐴...𝐵) ∧ dom (𝐺 ∖ {∅}) ⊆ (𝐶...𝐷)) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)))
4033, 38, 39mp2an 422 . . . . . 6 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷))
41 fzdisj 9844 . . . . . . 7 (𝐵 < 𝐶 → ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅)
4216, 41ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅
43 sseq0 3404 . . . . . 6 (((dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) ⊆ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) ∧ ((𝐴...𝐵) ∩ (𝐶...𝐷)) = ∅) → (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅)
4440, 42, 43mp2an 422 . . . . 5 (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅
45 funun 5167 . . . . 5 (((Fun (𝐹 ∖ {∅}) ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅})) ∧ (dom (𝐹 ∖ {∅}) ∩ dom (𝐺 ∖ {∅})) = ∅) → Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4628, 44, 45mp2an 422 . . . 4 Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
47 difundir 3329 . . . . 5 ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) = ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅}))
4847funeqi 5144 . . . 4 (Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ↔ Fun ((𝐹 ∖ {∅}) ∪ (𝐺 ∖ {∅})))
4946, 48mpbir 145 . . 3 Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅})
50 structex 11985 . . . . 5 (𝐹 Struct ⟨𝐴, 𝐵⟩ → 𝐹 ∈ V)
511, 50ax-mp 5 . . . 4 𝐹 ∈ V
52 structex 11985 . . . . 5 (𝐺 Struct ⟨𝐶, 𝐷⟩ → 𝐺 ∈ V)
536, 52ax-mp 5 . . . 4 𝐺 ∈ V
5451, 53unex 4362 . . 3 (𝐹𝐺) ∈ V
55 dmun 4746 . . . 4 dom (𝐹𝐺) = (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺)
5612nnzi 9087 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℤ
5710nnzi 9087 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℤ
5813, 15, 22letri 7883 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝐶𝐶𝐷) → 𝐵𝐷)
5917, 21, 58mp2an 422 . . . . . . . 8 𝐵𝐷
60 eluz2 9344 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵𝐷))
6156, 57, 59, 60mpbir3an 1163 . . . . . . 7 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)
62 fzss2 9856 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (ℤ𝐵) → (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷))
6361, 62ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴...𝐵) ⊆ (𝐴...𝐷)
6432, 63sstri 3106 . . . . 5 dom 𝐹 ⊆ (𝐴...𝐷)
655nnzi 9087 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℤ
6614nnzi 9087 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℤ
67 eluz2 9344 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐶))
6865, 66, 20, 67mpbir3an 1163 . . . . . . 7 𝐶 ∈ (ℤ𝐴)
69 fzss1 9855 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷))
7068, 69ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐶...𝐷) ⊆ (𝐴...𝐷)
7137, 70sstri 3106 . . . . 5 dom 𝐺 ⊆ (𝐴...𝐷)
7264, 71unssi 3251 . . . 4 (dom 𝐹 ∪ dom 𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
7355, 72eqsstri 3129 . . 3 dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷)
7449, 54, 733pm3.2i 1159 . 2 (Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))
75 isstructr 11988 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐷 ∈ ℕ ∧ 𝐴𝐷) ∧ (Fun ((𝐹𝐺) ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ dom (𝐹𝐺) ⊆ (𝐴...𝐷))) → (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷⟩)
7625, 74, 75mp2an 422 1 (𝐹𝐺) Struct ⟨𝐴, 𝐷
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  cdif 3068  cun 3069  cin 3070  wss 3071  c0 3363  {csn 3527  cop 3530   class class class wbr 3929  dom cdm 4539  Fun wfun 5117  cfv 5123  (class class class)co 5774   < clt 7812  cle 7813  cn 8732  cz 9066  cuz 9338  ...cfz 9802   Struct cstr 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-struct 11975
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator