Theorem 2arwcatlem5 50405

Description: Lemma for 2arwcat 50406. (Contributed by Zhi Wang, 5-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2arwcatlem5.1	⊢ (𝜑 → ( 1 · 0 ) = 0 )
2arwcatlem5.2	⊢ (𝜑 → ( 0 · 1 ) = 0 )
2arwcatlem5.3	⊢ (𝜑 → ( 0 · 0 ) ∈ { 0 , 1 })

Assertion

Ref	Expression
2arwcatlem5	⊢ (𝜑 → (( 0 · 0 ) · 0 ) = ( 0 · ( 0 · 0 )))

Proof of Theorem 2arwcatlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 0 · 0 ) = 0 ) → ( 0 · 0 ) = 0 )
2	1	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 0 · 0 ) = 0 ) → (( 0 · 0 ) · 0 ) = ( 0 · 0 ))
3	1	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 0 · 0 ) = 0 ) → ( 0 · ( 0 · 0 )) = ( 0 · 0 ))
4	2, 3	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 0 · 0 ) = 0 ) → (( 0 · 0 ) · 0 ) = ( 0 · ( 0 · 0 )))
5		2arwcatlem5.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 0 ) = 0 )
6		2arwcatlem5.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 1 ) = 0 )
7	5, 6	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 0 ) = ( 0 · 1 ))
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 0 · 0 ) = 1 ) → ( 1 · 0 ) = ( 0 · 1 ))
9		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 0 · 0 ) = 1 ) → ( 0 · 0 ) = 1 )
10	9	oveq1d 7425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 0 · 0 ) = 1 ) → (( 0 · 0 ) · 0 ) = ( 1 · 0 ))
11	9	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 0 · 0 ) = 1 ) → ( 0 · ( 0 · 0 )) = ( 0 · 1 ))
12	8, 10, 11	3eqtr4d 2808	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ( 0 · 0 ) = 1 ) → (( 0 · 0 ) · 0 ) = ( 0 · ( 0 · 0 )))
13		2arwcatlem5.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( 0 · 0 ) ∈ { 0 , 1 })
14		ovex 7443	. . . 4 ⊢ ( 0 · 0 ) ∈ V
15	14	elpr 4614	. . 3 ⊢ (( 0 · 0 ) ∈ { 0 , 1 } ↔ (( 0 · 0 ) = 0 ∨ ( 0 · 0 ) = 1 ))
16	13, 15	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (( 0 · 0 ) = 0 ∨ ( 0 · 0 ) = 1 ))
17	4, 12, 16	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → (( 0 · 0 ) · 0 ) = ( 0 · ( 0 · 0 )))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {cpr 4591  (class class class)co 7410

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-nul 5269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7413

This theorem is used by:  2arwcat  50406