Theorem brers 39461

Description: Binary equivalence relation with natural domain, see the comment of df-ers 39457. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brers	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))

Proof of Theorem brers

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ers 39457	. 2 ⊢ Ers = ( DomainQss ↾ EqvRels )
2	1	eqres 39049	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111   EqvRels ceqvrels 38908   DomainQss cdmqss 38915   Ers cers 38917

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-res 5675  df-ers 39457

This theorem is used by:  brerser  39471  dfpeters2  39683