Theorem brerser 39074

Description: Binary equivalence relation with natural domain and the equivalence relation with natural domain predicate are the same when 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brerser	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))

Proof of Theorem brerser

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brers 39064	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3		eleqvrelsrel 38990	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
5		brdmqssqs 39043	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ 𝑅 DomainQs 𝐴))
6	4, 5	anbi12d 633	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
7		df-erALTV 39061	. . 3 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴))
8	6, 7	bitr4di 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))
9	2, 8	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   EqvRels ceqvrels 38511   EqvRel weqvrel 38512   DomainQss cdmqss 38518   DomainQs wdmqs 38519   Ers cers 38520   ErALTV werALTV 38521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ec 8636  df-qs 8640  df-rels 38752  df-ssr 38890  df-refs 38902  df-refrels 38903  df-refrel 38904  df-syms 38934  df-symrels 38935  df-symrel 38936  df-trs 38968  df-trrels 38969  df-trrel 38970  df-eqvrels 38980  df-eqvrel 38981  df-dmqss 39034  df-dmqs 39035  df-ers 39060  df-erALTV 39061

This theorem is referenced by:  mpets2  39267  pets  39278