Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brerser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brerser 36089
 Description: Binary equivalence relation with natural domain and the equivalence relation with natural domain predicate are the same when 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
brerser ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴𝑅 ErALTV 𝐴))

Proof of Theorem brerser
StepHypRef Expression
1 brers 36080 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
21adantr 484 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3 eleqvrelsrel 36008 . . . . 5 (𝑅𝑊 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
43adantl 485 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
5 brdmqssqs 36061 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴𝑅 DomainQs 𝐴))
64, 5anbi12d 633 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( EqvRel 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴)))
7 df-erALTV 36077 . . 3 (𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴))
86, 7bitr4di 292 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))
92, 8bitrd 282 1 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴𝑅 ErALTV 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5031   EqvRels ceqvrels 35648   EqvRel weqvrel 35649   DomainQss cdmqss 35655   DomainQs wdmqs 35656   Ers cers 35657   ErALTV werALTV 35658 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pr 5296 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5032  df-opab 5094  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-ec 8277  df-qs 8281  df-rels 35904  df-ssr 35917  df-refs 35929  df-refrels 35930  df-refrel 35931  df-syms 35957  df-symrels 35958  df-symrel 35959  df-trs 35987  df-trrels 35988  df-trrel 35989  df-eqvrels 35998  df-eqvrel 35999  df-dmqss 36052  df-dmqs 36053  df-ers 36076  df-erALTV 36077 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator