Theorem brerser 39886

Description: Binary equivalence relation with natural domain and the equivalence relation with natural domain predicate are the same when 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brerser	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))

Proof of Theorem brerser

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brers 39876	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3		eleqvrelsrel 39802	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
4	3	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
5		brdmqssqs 39855	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ 𝑅 DomainQs 𝐴))
6	4, 5	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
7		df-erALTV 39873	. . 3 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴))
8	6, 7	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))
9	2, 8	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   EqvRels ceqvrels 39323   EqvRel weqvrel 39324   DomainQss cdmqss 39330   DomainQs wdmqs 39331   Ers cers 39332   ErALTV werALTV 39333

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8747  df-qs 8751  df-rels 39564  df-ssr 39702  df-refs 39714  df-refrels 39715  df-refrel 39716  df-syms 39746  df-symrels 39747  df-symrel 39748  df-trs 39780  df-trrels 39781  df-trrel 39782  df-eqvrels 39792  df-eqvrel 39793  df-dmqss 39846  df-dmqs 39847  df-ers 39872  df-erALTV 39873

This theorem is used by:  mpets2  40079  pets  40090