Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brerser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brerser 38679
Description: Binary equivalence relation with natural domain and the equivalence relation with natural domain predicate are the same when 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
brerser ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴𝑅 ErALTV 𝐴))

Proof of Theorem brerser
StepHypRef Expression
1 brers 38669 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
21adantr 480 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3 eleqvrelsrel 38596 . . . . 5 (𝑅𝑊 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
43adantl 481 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
5 brdmqssqs 38649 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴𝑅 DomainQs 𝐴))
64, 5anbi12d 632 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( EqvRel 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴)))
7 df-erALTV 38666 . . 3 (𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴))
86, 7bitr4di 289 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))
92, 8bitrd 279 1 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴𝑅 ErALTV 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2107   class class class wbr 5142   EqvRels ceqvrels 38199   EqvRel weqvrel 38200   DomainQss cdmqss 38206   DomainQs wdmqs 38207   Ers cers 38208   ErALTV werALTV 38209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ec 8748  df-qs 8752  df-rels 38487  df-ssr 38500  df-refs 38512  df-refrels 38513  df-refrel 38514  df-syms 38544  df-symrels 38545  df-symrel 38546  df-trs 38574  df-trrels 38575  df-trrel 38576  df-eqvrels 38586  df-eqvrel 38587  df-dmqss 38640  df-dmqs 38641  df-ers 38665  df-erALTV 38666
This theorem is referenced by:  mpets2  38843  pets  38854
  Copyright terms: Public domain W3C validator