Theorem brerser 39439

Description: Binary equivalence relation with natural domain and the equivalence relation with natural domain predicate are the same when 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brerser	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))

Proof of Theorem brerser

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brers 39429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3		eleqvrelsrel 39355	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
4	3	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
5		brdmqssqs 39408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ 𝑅 DomainQs 𝐴))
6	4, 5	anbi12d 643	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
7		df-erALTV 39426	. . 3 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴))
8	6, 7	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))
9	2, 8	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108   EqvRels ceqvrels 38876   EqvRel weqvrel 38877   DomainQss cdmqss 38883   DomainQs wdmqs 38884   Ers cers 38885   ErALTV werALTV 38886

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ec 8694  df-qs 8698  df-rels 39117  df-ssr 39255  df-refs 39267  df-refrels 39268  df-refrel 39269  df-syms 39299  df-symrels 39300  df-symrel 39301  df-trs 39333  df-trrels 39334  df-trrel 39335  df-eqvrels 39345  df-eqvrel 39346  df-dmqss 39399  df-dmqs 39400  df-ers 39425  df-erALTV 39426

This theorem is used by:  mpets2  39632  pets  39643