Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  brerser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brerser 37189
Description: Binary equivalence relation with natural domain and the equivalence relation with natural domain predicate are the same when 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
brerser ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴𝑅 ErALTV 𝐴))

Proof of Theorem brerser
StepHypRef Expression
1 brers 37179 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
21adantr 482 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3 eleqvrelsrel 37106 . . . . 5 (𝑅𝑊 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
43adantl 483 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
5 brdmqssqs 37159 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴𝑅 DomainQs 𝐴))
64, 5anbi12d 632 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( EqvRel 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴)))
7 df-erALTV 37176 . . 3 (𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel 𝑅𝑅 DomainQs 𝐴))
86, 7bitr4di 289 . 2 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))
92, 8bitrd 279 1 ((𝐴𝑉𝑅𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴𝑅 ErALTV 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5109   EqvRels ceqvrels 36700   EqvRel weqvrel 36701   DomainQss cdmqss 36707   DomainQs wdmqs 36708   Ers cers 36709   ErALTV werALTV 36710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ec 8656  df-qs 8660  df-rels 36997  df-ssr 37010  df-refs 37022  df-refrels 37023  df-refrel 37024  df-syms 37054  df-symrels 37055  df-symrel 37056  df-trs 37084  df-trrels 37085  df-trrel 37086  df-eqvrels 37096  df-eqvrel 37097  df-dmqss 37150  df-dmqs 37151  df-ers 37175  df-erALTV 37176
This theorem is referenced by:  mpets2  37353  pets  37364
  Copyright terms: Public domain W3C validator