Theorem brerser 39379

Description: Binary equivalence relation with natural domain and the equivalence relation with natural domain predicate are the same when 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brerser	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))

Proof of Theorem brerser

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brers 39369	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3		eleqvrelsrel 39295	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
4	3	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
5		brdmqssqs 39348	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ 𝑅 DomainQs 𝐴))
6	4, 5	anbi12d 643	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
7		df-erALTV 39366	. . 3 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴))
8	6, 7	bitr4di 292	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))
9	2, 8	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5108   EqvRels ceqvrels 38816   EqvRel weqvrel 38817   DomainQss cdmqss 38823   DomainQs wdmqs 38824   Ers cers 38825   ErALTV werALTV 38826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2095  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ec 8695  df-qs 8699  df-rels 39057  df-ssr 39195  df-refs 39207  df-refrels 39208  df-refrel 39209  df-syms 39239  df-symrels 39240  df-symrel 39241  df-trs 39273  df-trrels 39274  df-trrel 39275  df-eqvrels 39285  df-eqvrel 39286  df-dmqss 39339  df-dmqs 39340  df-ers 39365  df-erALTV 39366

This theorem is referenced by:  mpets2  39572  pets  39583