Theorem brerser 37542

Description: Binary equivalence relation with natural domain and the equivalence relation with natural domain predicate are the same when 𝐴 and 𝑅 are sets. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
brerser	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))

Proof of Theorem brerser

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brers 37532	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ (𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴)))
3		eleqvrelsrel 37459	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑊 → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
4	3	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 ∈ EqvRels ↔ EqvRel 𝑅))
5		brdmqssqs 37512	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 DomainQss 𝐴 ↔ 𝑅 DomainQs 𝐴))
6	4, 5	anbi12d 631	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴)))
7		df-erALTV 37529	. . 3 ⊢ (𝑅 ErALTV 𝐴 ↔ ( EqvRel 𝑅 ∧ 𝑅 DomainQs 𝐴))
8	6, 7	bitr4di 288	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → ((𝑅 ∈ EqvRels ∧ 𝑅 DomainQss 𝐴) ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))
9	2, 8	bitrd 278	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ 𝑊) → (𝑅 Ers 𝐴 ↔ 𝑅 ErALTV 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   EqvRels ceqvrels 37054   EqvRel weqvrel 37055   DomainQss cdmqss 37061   DomainQs wdmqs 37062   Ers cers 37063   ErALTV werALTV 37064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ec 8704  df-qs 8708  df-rels 37350  df-ssr 37363  df-refs 37375  df-refrels 37376  df-refrel 37377  df-syms 37407  df-symrels 37408  df-symrel 37409  df-trs 37437  df-trrels 37438  df-trrel 37439  df-eqvrels 37449  df-eqvrel 37450  df-dmqss 37503  df-dmqs 37504  df-ers 37528  df-erALTV 37529

This theorem is referenced by:  mpets2  37706  pets  37717