Theorem elinintrab 40277

Description: Two ways of saying a set is an element of the intersection of a class with the intersection of a class. (Contributed by RP, 14-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elinintrab	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃𝑥(𝑤 = (𝐵 ∩ 𝑥) ∧ 𝜑)} ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑤   𝑥,𝑤,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑤)

Proof of Theorem elinintrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3444	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	inex2 5186	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑥) ∈ V
3		inss1 4155	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑥) ⊆ 𝐵
4	2, 3	elmapintrab 40276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃𝑥(𝑤 = (𝐵 ∩ 𝑥) ∧ 𝜑)} ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)))))
5		elin 3897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥))
6	5	imbi2i 339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)))
7		jcab 521	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
8	6, 7	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)) ↔ ((𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
9	8	albii 1821	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)) ↔ ∀𝑥((𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
10		19.26 1871	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)) ↔ (∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
11		19.23v 1943	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵))
12	11	anbi1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
13	10, 12	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
14	9, 13	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
15	14	anbi2i 625	. . 3 ⊢ (((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥))) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥))))
16		anabs5 662	. . 3 ⊢ (((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥))) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
17	15, 16	bitri 278	. 2 ⊢ (((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥))) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
18	4, 17	syl6bb 290	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃𝑥(𝑤 = (𝐵 ∩ 𝑥) ∧ 𝜑)} ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ∩ cin 3880  𝒫 cpw 4497  ∩ cint 4838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-ral 3111  df-rab 3115  df-v 3443  df-in 3888  df-ss 3898  df-pw 4499  df-int 4839

This theorem is referenced by:  inintabss  40278  inintabd  40279