Theorem elinintrab 43760

Description: Two ways of saying a set is an element of the intersection of a class with the intersection of a class. (Contributed by RP, 14-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elinintrab	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃𝑥(𝑤 = (𝐵 ∩ 𝑥) ∧ 𝜑)} ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥))))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑤   𝑥,𝑤,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑤)

Proof of Theorem elinintrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3442	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	inex2 5261	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑥) ∈ V
3		inss1 4187	. . 3 ⊢ (𝐵 ∩ 𝑥) ⊆ 𝐵
4	2, 3	elmapintrab 43759	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃𝑥(𝑤 = (𝐵 ∩ 𝑥) ∧ 𝜑)} ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)))))
5		elin 3915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥))
6	5	imbi2i 336	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)) ↔ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)))
7		jcab 517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝑥)) ↔ ((𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
8	6, 7	bitri 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)) ↔ ((𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
9	8	albii 1820	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)) ↔ ∀𝑥((𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
10		19.26 1871	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥((𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)) ↔ (∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
11		19.23v 1943	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵))
12	11	anbi1i 624	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
13	10, 12	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥((𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
14	9, 13	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥)) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
15	14	anbi2i 623	. . 3 ⊢ (((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥))) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥))))
16		anabs5 663	. . 3 ⊢ (((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥))) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
17	15, 16	bitri 275	. 2 ⊢ (((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ∩ 𝑥))) ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
18	4, 17	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ ∩ {𝑤 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃𝑥(𝑤 = (𝐵 ∩ 𝑥) ∧ 𝜑)} ↔ ((∃𝑥𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑥(𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  {crab 3397   ∩ cin 3898  𝒫 cpw 4552  ∩ cint 4900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-tru 1544  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-in 3906  df-ss 3916  df-pw 4554  df-int 4901

This theorem is referenced by:  inintabss  43761  inintabd  43762