MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fdmrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fdmrn 6701
Description: A different way to write ๐น is a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
fdmrn (Fun ๐น โ†” ๐น:dom ๐นโŸถran ๐น)

Proof of Theorem fdmrn
StepHypRef Expression
1 ssid 3967 . . 3 ran ๐น โŠ† ran ๐น
2 df-f 6501 . . 3 (๐น:dom ๐นโŸถran ๐น โ†” (๐น Fn dom ๐น โˆง ran ๐น โŠ† ran ๐น))
31, 2mpbiran2 709 . 2 (๐น:dom ๐นโŸถran ๐น โ†” ๐น Fn dom ๐น)
4 eqid 2733 . . 3 dom ๐น = dom ๐น
5 df-fn 6500 . . 3 (๐น Fn dom ๐น โ†” (Fun ๐น โˆง dom ๐น = dom ๐น))
64, 5mpbiran2 709 . 2 (๐น Fn dom ๐น โ†” Fun ๐น)
73, 6bitr2i 276 1 (Fun ๐น โ†” ๐น:dom ๐นโŸถran ๐น)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1542   โŠ† wss 3911  dom cdm 5634  ran crn 5635  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  โŸถwf 6493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-tru 1545  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-v 3446  df-in 3918  df-ss 3928  df-fn 6500  df-f 6501
This theorem is referenced by:  funcofd  6702  fco3OLD  6703  nvof1o  7227  umgrwwlks2on  28944  rinvf1o  31590  smatrcl  32434  locfinref  32479  lfuhgr  33768  limccog  43947  funfocofob  45396
  Copyright terms: Public domain W3C validator