Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rinvf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rinvf1o 32651
Description: Sufficient conditions for the restriction of an involution to be a bijection. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rinvbij.1 Fun 𝐹
rinvbij.2 𝐹 = 𝐹
rinvbij.3a (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵
rinvbij.3b (𝐹𝐵) ⊆ 𝐴
rinvbij.4a 𝐴 ⊆ dom 𝐹
rinvbij.4b 𝐵 ⊆ dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
rinvf1o (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto𝐵

Proof of Theorem rinvf1o
StepHypRef Expression
1 rinvbij.1 . . . . 5 Fun 𝐹
2 fdmrn 6781 . . . . 5 (Fun 𝐹𝐹:dom 𝐹⟶ran 𝐹)
31, 2mpbi 230 . . . 4 𝐹:dom 𝐹⟶ran 𝐹
4 rinvbij.2 . . . . . 6 𝐹 = 𝐹
54funeqi 6601 . . . . 5 (Fun 𝐹 ↔ Fun 𝐹)
61, 5mpbir 231 . . . 4 Fun 𝐹
7 df-f1 6580 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹1-1→ran 𝐹 ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ran 𝐹 ∧ Fun 𝐹))
83, 6, 7mpbir2an 710 . . 3 𝐹:dom 𝐹1-1→ran 𝐹
9 rinvbij.4a . . 3 𝐴 ⊆ dom 𝐹
10 f1ores 6878 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹1-1→ran 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴))
118, 9, 10mp2an 691 . 2 (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴)
12 rinvbij.3a . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵
13 rinvbij.3b . . . . . 6 (𝐹𝐵) ⊆ 𝐴
14 rinvbij.4b . . . . . . 7 𝐵 ⊆ dom 𝐹
15 funimass3 7089 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹𝐵 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐵) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐹𝐴)))
161, 14, 15mp2an 691 . . . . . 6 ((𝐹𝐵) ⊆ 𝐴𝐵 ⊆ (𝐹𝐴))
1713, 16mpbi 230 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐹𝐴)
184imaeq1i 6088 . . . . 5 (𝐹𝐴) = (𝐹𝐴)
1917, 18sseqtri 4045 . . . 4 𝐵 ⊆ (𝐹𝐴)
2012, 19eqssi 4025 . . 3 (𝐹𝐴) = 𝐵
21 f1oeq3 6854 . . 3 ((𝐹𝐴) = 𝐵 → ((𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto𝐵))
2220, 21ax-mp 5 . 2 ((𝐹𝐴):𝐴1-1-onto→(𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto𝐵)
2311, 22mpbi 230 1 (𝐹𝐴):𝐴1-1-onto𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206   = wceq 1537  wss 3976  ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701  cres 5702  cima 5703  Fun wfun 6569  wf 6571  1-1wf1 6572  1-1-ontowf1o 6574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583
This theorem is referenced by:  ballotlem7  34502
  Copyright terms: Public domain W3C validator