Theorem fuco11 50541

Description: The object part of the functor composition bifunctor maps two functors to their composition. (Contributed by Zhi Wang, 30-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuco11.o	⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
fuco11.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
fuco11.k	⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
fuco11.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)

Assertion

Ref	Expression
fuco11	⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑈) = (⟨𝐾, 𝐿⟩ ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩))

Proof of Theorem fuco11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuco11.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
2	1	funcrcl2 50286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
3		fuco11.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾(𝐷 Func 𝐸)𝐿)
4	3	funcrcl2 50286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
5	3	funcrcl3 50287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ Cat)
6		fuco11.o	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∘F 𝐸) = ⟨𝑂, 𝑃⟩)
7		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)) = ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)))
8	2, 4, 5, 6, 7	fuco1 50536	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = ( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷))))
9	8	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑈) = (( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)))‘𝑈))
10		fuco11.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
11	7, 10, 3, 1	fuco2eld 50528	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)))
12	11	fvresd 6905	. 2 ⊢ (𝜑 → (( ∘func ↾ ((𝐷 Func 𝐸) × (𝐶 Func 𝐷)))‘𝑈) = ( ∘func ‘𝑈))
13	10	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∘func ‘𝑈) = ( ∘func ‘⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩))
14		df-ov 7423	. . 3 ⊢ (⟨𝐾, 𝐿⟩ ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩) = ( ∘func ‘⟨⟨𝐾, 𝐿⟩, ⟨𝐹, 𝐺⟩⟩)
15	13, 14	eqtr4di 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ∘func ‘𝑈) = (⟨𝐾, 𝐿⟩ ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩))
16	9, 12, 15	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑈) = (⟨𝐾, 𝐿⟩ ∘func ⟨𝐹, 𝐺⟩))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569  ⟨cop 4834   class class class wbr 5102   × cxp 5648   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Catccat 17843   Func cfunc 18034   ∘_func ccofu 18036   ∘_F cfuco 50531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-func 18038  df-cofu 18040  df-fuco 50532

This theorem is used by:  fuco11a  50543  fuco11bALT  50553  precofvalALT  50596