Theorem issetssr 34881

Description: Two ways of expressing set existence. (Contributed by Peter Mazsa, 1-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
issetssr	⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 S 𝐴)

Proof of Theorem issetssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brssrid 34880	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 S 𝐴)
2		relssr 34878	. . 3 ⊢ Rel S
3		brrelex1 5403	. . 3 ⊢ ((Rel S ∧ 𝐴 S 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	mpan 680	. 2 ⊢ (𝐴 S 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5	1, 4	impbii 201	1 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 S 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 198   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   class class class wbr 4886  Rel wrel 5360   S cssr 34609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-br 4887  df-opab 4949  df-xp 5361  df-rel 5362  df-ssr 34876

This theorem is referenced by: (None)