Theorem brrelex1i 5572

Description: The first argument of a binary relation exists. (An artifact of our ordered pair definition.) (Contributed by NM, 4-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
brrelexi.1	⊢ Rel 𝑅

Assertion

Ref	Expression
brrelex1i	⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem brrelex1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brrelexi.1	. 2 ⊢ Rel 𝑅
2		brrelex1 5569	. 2 ⊢ ((Rel 𝑅 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → 𝐴 ∈ V)
3	1, 2	mpan 689	1 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030  Rel wrel 5524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526

This theorem is referenced by:  nprrel  5575  opeliunxp2  5673  ideqg  5686  issetid  5689  dffv2  6733  brfvopabrbr  6742  brrpssg  7431  opeliunxp2f  7859  brtpos2  7881  brdomg  8502  ctex  8507  isfi  8516  en1uniel  8564  domdifsn  8583  undom  8588  xpdom2  8595  xpdom1g  8597  sucdom2  8610  sbth  8621  dom0  8629  sdom0  8633  sdomirr  8638  sdomdif  8649  fodomr  8652  pwdom  8653  xpen  8664  pwen  8674  php3  8687  sdom1  8702  fineqv  8717  f1finf1o  8729  infsdomnn  8763  relprcnfsupp  8820  fsuppunbi  8838  mapfien2  8856  harword  9011  brwdom  9015  domwdom  9022  brwdom3i  9031  unwdomg  9032  xpwdomg  9033  infdifsn  9104  ac10ct  9445  inffien  9474  djuen  9580  djudom2  9594  djufi  9597  cdainflem  9598  djulepw  9603  infdjuabs  9617  infunabs  9618  infmap2  9629  cfslb2n  9679  fin4i  9709  isfin5  9710  isfin6  9711  fin4en1  9720  isfin4p1  9726  isfin32i  9776  fin45  9803  fin56  9804  fin67  9806  hsmexlem1  9837  hsmexlem3  9839  axcc3  9849  ttukeylem1  9920  brdom3  9939  iundom2g  9951  iundom  9953  gchi  10035  engch  10039  gchdomtri  10040  fpwwe2lem6  10046  fpwwe2lem7  10047  fpwwe2lem9  10049  gchdjuidm  10079  gchpwdom  10081  prcdnq  10404  reexALT  12371  hasheni  13704  hashdomi  13737  climcl  14848  climi  14859  climrlim2  14896  climrecl  14932  climge0  14933  iseralt  15033  climfsum  15167  structex  16486  issubc  17097  pmtrfv  18572  dprdval  19118  frgpcyg  20265  lindff  20504  lindfind  20505  f1lindf  20511  lindfmm  20516  lsslindf  20519  lbslcic  20530  hauspwdom  22106  refbas  22115  refssex  22116  reftr  22119  refun0  22120  ovoliunnul  24111  dvle  24610  cyclnspth  27589  hlimi  28971  gsumhashmul  30741  extdgval  31132  usgrgt2cycl  32490  brsset  33463  brbigcup  33472  elfix2  33478  brcolinear2  33632  isfne  33800  refssfne  33819  bj-epelg  34484  bj-ideqb  34574  bj-opelidb1ALT  34581  ovoliunnfl  35099  voliunnfl  35101  volsupnfl  35102  brabg2  35154  heiborlem4  35252  isrngo  35335  isdivrngo  35388  brssr  35901  issetssr  35903  fphpd  39757  ctbnfien  39759  climd  42314  climuzlem  42385  rlimdmafv  43733  rlimdmafv2  43814