Theorem brssrres 38506

Description: Restricted subset binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brssrres	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Proof of Theorem brssrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brres 6003	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 S 𝐶)))
2		brssr 38503	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵 S 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	2	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 S 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))
4	1, 3	bitrd 279	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142   ↾ cres 5686   S cssr 38186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2064  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5143  df-opab 5205  df-xp 5690  df-rel 5691  df-res 5696  df-ssr 38500

This theorem is referenced by:  br1cnvssrres  38507