Theorem brssrres 38896

Description: Restricted subset binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brssrres	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Proof of Theorem brssrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brres 5943	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 S 𝐶)))
2		brssr 38893	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵 S 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	2	anbi2d 631	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 S 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))
4	1, 3	bitrd 279	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   ↾ cres 5624   S cssr 38498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5628  df-rel 5629  df-res 5634  df-ssr 38890

This theorem is referenced by:  br1cnvssrres  38897