Theorem brssrres 38495

Description: Restricted subset binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brssrres	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Proof of Theorem brssrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brres 5957	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 S 𝐶)))
2		brssr 38492	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵 S 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	2	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 S 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))
4	1, 3	bitrd 279	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   ↾ cres 5640   S cssr 38172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-rel 5645  df-res 5650  df-ssr 38489

This theorem is referenced by:  br1cnvssrres  38496