Theorem brssrres 35904

Description: Restricted subset binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
brssrres	⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Proof of Theorem brssrres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brres 5825	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 S 𝐶)))
2		brssr 35901	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵 S 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	2	anbi2d 631	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 S 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))
4	1, 3	bitrd 282	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐵( S ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↾ cres 5521   S cssr 35616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-res 5531  df-ssr 35898

This theorem is referenced by:  br1cnvssrres  35905