Theorem lvecgrpd 21363

Description: A vector space is a group. (Contributed by SN, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecgrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lvecgrpd	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lvecgrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecgrpd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	lveclmodd 21362	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	lmodgrpd 21125	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  Grpcgrp 19124  LVecclvec 21357

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6487  df-fv 6539  df-ov 7415  df-lmod 21117  df-lvec 21358

This theorem is used by:  dimkerim  34241  lvecendof1f1o  34247  algextdeglem8  34338