Theorem lvecgrpd 21095

Description: A vector space is a group. (Contributed by SN, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecgrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lvecgrpd	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lvecgrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecgrpd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	lveclmodd 21094	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	lmodgrpd 20856	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Grpcgrp 18900  LVecclvec 21089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7363  df-lmod 20848  df-lvec 21090

This theorem is referenced by:  dimkerim  33787  lvecendof1f1o  33793  algextdeglem8  33884