Theorem lvecgrpd 21015

Description: A vector space is a group. (Contributed by SN, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecgrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lvecgrpd	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lvecgrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecgrpd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	lveclmodd 21014	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	lmodgrpd 20776	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Grpcgrp 18865  LVecclvec 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-lmod 20768  df-lvec 21010

This theorem is referenced by:  dimkerim  33623  lvecendof1f1o  33629  algextdeglem8  33714