Theorem lvecgrpd 21155

Description: A vector space is a group. (Contributed by SN, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecgrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)

Assertion

Ref	Expression
lvecgrpd	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lvecgrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecgrpd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2	1	lveclmodd 21154	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	lmodgrpd 20917	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Grpcgrp 18958  LVecclvec 21149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-nul 5255

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-iota 6473  df-fv 6525  df-ov 7395  df-lmod 20909  df-lvec 21150

This theorem is referenced by:  dimkerim  33885  lvecendof1f1o  33891  algextdeglem8  33982