Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  algextdeglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem algextdeglem8 33766
Description: Lemma for algextdeg 33767. The dimension of the univariate polynomial remainder ring (𝐻s 𝑃) is the degree of the minimal polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
algextdeg.k 𝐾 = (𝐸s 𝐹)
algextdeg.l 𝐿 = (𝐸s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
algextdeg.d 𝐷 = (deg1𝐸)
algextdeg.m 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
algextdeg.f (𝜑𝐸 ∈ Field)
algextdeg.e (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
algextdeg.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
algextdeglem.o 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algextdeglem.y 𝑃 = (Poly1𝐾)
algextdeglem.u 𝑈 = (Base‘𝑃)
algextdeglem.g 𝐺 = (𝑝𝑈 ↦ ((𝑂𝑝)‘𝐴))
algextdeglem.n 𝑁 = (𝑥𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.z 𝑍 = (𝐺 “ {(0g𝐿)})
algextdeglem.q 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
algextdeglem.j 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐺𝑝))
algextdeglem.r 𝑅 = (rem1p𝐾)
algextdeglem.h 𝐻 = (𝑝𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀𝐴)))
algextdeglem.t 𝑇 = ((deg1𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀𝐴))))
Assertion
Ref Expression
algextdeglem8 (𝜑 → (dim‘(𝐻s 𝑃)) = (𝐷‘(𝑀𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝,𝑥   𝐺,𝑝,𝑥   𝐻,𝑝,𝑥   𝐽,𝑝,𝑥   𝐾,𝑝   𝐿,𝑝,𝑥   𝑀,𝑝   𝑥,𝑁   𝑂,𝑝   𝑃,𝑝,𝑥   𝑄,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝   𝑇,𝑝,𝑥   𝑈,𝑝,𝑥   𝑍,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑅(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑝)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem algextdeglem8
Dummy variables 𝑞 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2737 . . . 4 (𝜑 → (𝐻s 𝑃) = (𝐻s 𝑃))
2 algextdeglem.u . . . . 5 𝑈 = (Base‘𝑃)
32a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑃))
4 algextdeg.e . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
5 algextdeg.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐸s 𝐹)
65sdrgdrng 20792 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐾 ∈ DivRing)
74, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
87drngringd 20738 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
98adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑈) → 𝐾 ∈ Ring)
10 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑈) → 𝑝𝑈)
11 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (0g‘(Poly1𝐸)) = (0g‘(Poly1𝐸))
12 algextdeg.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ Field)
13 algextdeg.m . . . . . . . . . . 11 𝑀 = (𝐸 minPoly 𝐹)
14 algextdeg.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
155fveq2i 6908 . . . . . . . . . . 11 (Monic1p𝐾) = (Monic1p‘(𝐸s 𝐹))
1611, 12, 4, 13, 14, 15minplym1p 33757 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (Monic1p𝐾))
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝𝑈) → (𝑀𝐴) ∈ (Monic1p𝐾))
18 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Unic1p𝐾) = (Unic1p𝐾)
19 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Monic1p𝐾) = (Monic1p𝐾)
2018, 19mon1puc1p 26191 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐴) ∈ (Monic1p𝐾)) → (𝑀𝐴) ∈ (Unic1p𝐾))
219, 17, 20syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑈) → (𝑀𝐴) ∈ (Unic1p𝐾))
22 algextdeglem.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (rem1p𝐾)
23 algextdeglem.y . . . . . . . . 9 𝑃 = (Poly1𝐾)
2422, 23, 2, 18r1pcl 26199 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝑝𝑈 ∧ (𝑀𝐴) ∈ (Unic1p𝐾)) → (𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ∈ 𝑈)
259, 10, 21, 24syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝑈) → (𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ∈ 𝑈)
26 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (deg1𝐾) = (deg1𝐾)
2722, 23, 2, 18, 26r1pdeglt 26200 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝑝𝑈 ∧ (𝑀𝐴) ∈ (Unic1p𝐾)) → ((deg1𝐾)‘(𝑝𝑅(𝑀𝐴))) < ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)))
289, 10, 21, 27syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑈) → ((deg1𝐾)‘(𝑝𝑅(𝑀𝐴))) < ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)))
29 algextdeg.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (deg1𝐸)
30 algextdeglem.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
315fveq2i 6908 . . . . . . . . . . . . 13 (Poly1𝐾) = (Poly1‘(𝐸s 𝐹))
3223, 31eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (Poly1‘(𝐸s 𝐹))
33 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐸) = (Base‘𝐸)
34 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐸) = (0g𝐸)
3512fldcrngd 20743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐸 ∈ CRing)
36 sdrgsubrg 20793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
374, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
3830, 5, 33, 34, 35, 37irngssv 33739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 IntgRing 𝐹) ⊆ (Base‘𝐸))
3938, 14sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝐸))
40 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑝)‘𝐴) = (0g𝐸)} = {𝑝 ∈ dom 𝑂 ∣ ((𝑂𝑝)‘𝐴) = (0g𝐸)}
41 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (RSpan‘𝑃) = (RSpan‘𝑃)
42 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (idlGen1p‘(𝐸s 𝐹)) = (idlGen1p‘(𝐸s 𝐹))
4330, 32, 33, 12, 4, 39, 34, 40, 41, 42, 13minplycl 33750 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (Base‘𝑃))
4443, 2eleqtrrdi 2851 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ 𝑈)
455, 29, 23, 2, 44, 37ressdeg1 33592 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀𝐴)) = ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)))
4645adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝𝑈) → (𝐷‘(𝑀𝐴)) = ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)))
4728, 46breqtrrd 5170 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝑈) → ((deg1𝐾)‘(𝑝𝑅(𝑀𝐴))) < (𝐷‘(𝑀𝐴)))
48 algextdeglem.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((deg1𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀𝐴))))
4912flddrngd 20742 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ DivRing)
5049drngringd 20738 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ Ring)
51 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (Poly1𝐸) = (Poly1𝐸)
52 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (PwSer1𝐾) = (PwSer1𝐾)
53 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(PwSer1𝐾)) = (Base‘(PwSer1𝐾))
54 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘(Poly1𝐸)) = (Base‘(Poly1𝐸))
5551, 5, 23, 2, 37, 52, 53, 54ressply1bas2 22230 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 = ((Base‘(PwSer1𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1𝐸))))
56 inss2 4237 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘(PwSer1𝐾)) ∩ (Base‘(Poly1𝐸))) ⊆ (Base‘(Poly1𝐸))
5755, 56eqsstrdi 4027 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ⊆ (Base‘(Poly1𝐸)))
5857, 44sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (Base‘(Poly1𝐸)))
5911, 12, 4, 13, 14irngnminplynz 33756 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐴) ≠ (0g‘(Poly1𝐸)))
6029, 51, 11, 54deg1nn0cl 26128 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐴) ∈ (Base‘(Poly1𝐸)) ∧ (𝑀𝐴) ≠ (0g‘(Poly1𝐸))) → (𝐷‘(𝑀𝐴)) ∈ ℕ0)
6150, 58, 59, 60syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀𝐴)) ∈ ℕ0)
6223, 26, 48, 61, 8, 2ply1degleel 33617 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1𝐾)‘(𝑝𝑅(𝑀𝐴))) < (𝐷‘(𝑀𝐴)))))
6362adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝𝑈) → ((𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ∈ 𝑈 ∧ ((deg1𝐾)‘(𝑝𝑅(𝑀𝐴))) < (𝐷‘(𝑀𝐴)))))
6425, 47, 63mpbir2and 713 . . . . . 6 ((𝜑𝑝𝑈) → (𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ∈ 𝑇)
6564ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑝𝑈 (𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ∈ 𝑇)
66 oveq1 7439 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑅(𝑀𝐴)) = (𝑞𝑅(𝑀𝐴)))
6766eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑞 = (𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ↔ 𝑞 = (𝑞𝑅(𝑀𝐴))))
68 eqcom 2743 . . . . . . . 8 (𝑞 = (𝑞𝑅(𝑀𝐴)) ↔ (𝑞𝑅(𝑀𝐴)) = 𝑞)
6967, 68bitrdi 287 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → (𝑞 = (𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ↔ (𝑞𝑅(𝑀𝐴)) = 𝑞))
7023, 26, 48, 61, 8, 2ply1degltel 33616 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑞𝑇 ↔ (𝑞𝑈 ∧ ((deg1𝐾)‘𝑞) ≤ ((𝐷‘(𝑀𝐴)) − 1))))
7170simprbda 498 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝑇) → 𝑞𝑈)
7270simplbda 499 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝑇) → ((deg1𝐾)‘𝑞) ≤ ((𝐷‘(𝑀𝐴)) − 1))
7345oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐷‘(𝑀𝐴)) − 1) = (((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)) − 1))
7473adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝑇) → ((𝐷‘(𝑀𝐴)) − 1) = (((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)) − 1))
7572, 74breqtrd 5168 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝑇) → ((deg1𝐾)‘𝑞) ≤ (((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)) − 1))
7626, 23, 2deg1cl 26123 . . . . . . . . . . 11 (𝑞𝑈 → ((deg1𝐾)‘𝑞) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
7771, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝑇) → ((deg1𝐾)‘𝑞) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}))
7861nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐷‘(𝑀𝐴)) ∈ ℤ)
7945, 78eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)) ∈ ℤ)
8079adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑞𝑇) → ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)) ∈ ℤ)
81 degltlem1 26112 . . . . . . . . . 10 ((((deg1𝐾)‘𝑞) ∈ (ℕ0 ∪ {-∞}) ∧ ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)) ∈ ℤ) → (((deg1𝐾)‘𝑞) < ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)) ↔ ((deg1𝐾)‘𝑞) ≤ (((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)) − 1)))
8277, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝑇) → (((deg1𝐾)‘𝑞) < ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)) ↔ ((deg1𝐾)‘𝑞) ≤ (((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)) − 1)))
8375, 82mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝑇) → ((deg1𝐾)‘𝑞) < ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴)))
84 fldsdrgfld 20800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 ∈ Field ∧ 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸)) → (𝐸s 𝐹) ∈ Field)
8512, 4, 84syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸s 𝐹) ∈ Field)
865, 85eqeltrid 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ Field)
87 fldidom 20772 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Field → 𝐾 ∈ IDomn)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ IDomn)
8988idomdomd 20727 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ Domn)
9089adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝑇) → 𝐾 ∈ Domn)
918, 16, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀𝐴) ∈ (Unic1p𝐾))
9291adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑞𝑇) → (𝑀𝐴) ∈ (Unic1p𝐾))
9323, 2, 18, 22, 26, 90, 71, 92r1pid2 26202 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑞𝑇) → ((𝑞𝑅(𝑀𝐴)) = 𝑞 ↔ ((deg1𝐾)‘𝑞) < ((deg1𝐾)‘(𝑀𝐴))))
9483, 93mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝑇) → (𝑞𝑅(𝑀𝐴)) = 𝑞)
9569, 71, 94rspcedvdw 3624 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝑇) → ∃𝑝𝑈 𝑞 = (𝑝𝑅(𝑀𝐴)))
9695ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑞𝑇𝑝𝑈 𝑞 = (𝑝𝑅(𝑀𝐴)))
97 algextdeglem.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑝𝑈 ↦ (𝑝𝑅(𝑀𝐴)))
9897fompt 7137 . . . . 5 (𝐻:𝑈onto𝑇 ↔ (∀𝑝𝑈 (𝑝𝑅(𝑀𝐴)) ∈ 𝑇 ∧ ∀𝑞𝑇𝑝𝑈 𝑞 = (𝑝𝑅(𝑀𝐴))))
9965, 96, 98sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝐻:𝑈onto𝑇)
10023ply1ring 22250 . . . . 5 (𝐾 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
1018, 100syl 17 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
1021, 3, 99, 101imasbas 17558 . . 3 (𝜑𝑇 = (Base‘(𝐻s 𝑃)))
10371ex 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑞𝑇𝑞𝑈))
104103ssrdv 3988 . . . 4 (𝜑𝑇𝑈)
105 eqid 2736 . . . . 5 (𝑃s 𝑇) = (𝑃s 𝑇)
106105, 2ressbas2 17284 . . . 4 (𝑇𝑈𝑇 = (Base‘(𝑃s 𝑇)))
107104, 106syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 = (Base‘(𝑃s 𝑇)))
108 ssidd 4006 . . 3 (𝜑𝑇𝑇)
109 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝐻s 𝑃) = (𝐻s 𝑃)
110 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(𝐻s 𝑃)) = (Base‘(𝐻s 𝑃))
111104ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑇𝑈)
112 simplr 768 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑥𝑇)
113111, 112sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑥𝑈)
114 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦𝑇)
115111, 114sseldd 3983 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑦𝑈)
116 foeq3 6817 . . . . . . . . . 10 (𝑇 = (Base‘(𝐻s 𝑃)) → (𝐻:𝑈onto𝑇𝐻:𝑈onto→(Base‘(𝐻s 𝑃))))
117102, 116syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻:𝑈onto𝑇𝐻:𝑈onto→(Base‘(𝐻s 𝑃))))
11899, 117mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:𝑈onto→(Base‘(𝐻s 𝑃)))
119118ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐻:𝑈onto→(Base‘(𝐻s 𝑃)))
12023, 2, 22, 18, 97, 8, 91r1plmhm 33631 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 LMHom (𝐻s 𝑃)))
121120lmhmghmd 33043 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐻s 𝑃)))
122 ghmmhm 19245 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom (𝐻s 𝑃)) → 𝐻 ∈ (𝑃 MndHom (𝐻s 𝑃)))
123121, 122syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 MndHom (𝐻s 𝑃)))
124123ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐻 ∈ (𝑃 MndHom (𝐻s 𝑃)))
125 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g𝑃) = (+g𝑃)
126 eqid 2736 . . . . . . 7 (+g‘(𝐻s 𝑃)) = (+g‘(𝐻s 𝑃))
127109, 2, 110, 113, 115, 119, 124, 125, 126mhmimasplusg 33044 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → ((𝐻𝑥)(+g‘(𝐻s 𝑃))(𝐻𝑦)) = (𝐻‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)))
128 algextdeg.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (𝐸s (𝐸 fldGen (𝐹 ∪ {𝐴})))
12912ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐸 ∈ Field)
1304ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
13114ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
132 algextdeglem.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑝𝑈 ↦ ((𝑂𝑝)‘𝐴))
133 algextdeglem.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑥𝑈 ↦ [𝑥](𝑃 ~QG 𝑍))
134 algextdeglem.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (𝐺 “ {(0g𝐿)})
135 algextdeglem.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝑃 /s (𝑃 ~QG 𝑍))
136 algextdeglem.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝑝 ∈ (Base‘𝑄) ↦ (𝐺𝑝))
1375, 128, 29, 13, 129, 130, 131, 30, 23, 2, 132, 133, 134, 135, 136, 22, 97, 48, 113algextdeglem7 33765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑥𝑇 ↔ (𝐻𝑥) = 𝑥))
138112, 137mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → (𝐻𝑥) = 𝑥)
1395, 128, 29, 13, 129, 130, 131, 30, 23, 2, 132, 133, 134, 135, 136, 22, 97, 48, 115algextdeglem7 33765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑦𝑇 ↔ (𝐻𝑦) = 𝑦))
140114, 139mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → (𝐻𝑦) = 𝑦)
141138, 140oveq12d 7450 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → ((𝐻𝑥)(+g‘(𝐻s 𝑃))(𝐻𝑦)) = (𝑥(+g‘(𝐻s 𝑃))𝑦))
142101ringgrpd 20240 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
14323, 7ply1lvec 33586 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ LVec)
14423, 26, 48, 61, 8ply1degltlss 33618 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑃))
145 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (LSubSp‘𝑃) = (LSubSp‘𝑃)
146105, 145lsslvec 21109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑃)) → (𝑃s 𝑇) ∈ LVec)
147143, 144, 146syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑃s 𝑇) ∈ LVec)
148147lvecgrpd 21108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃s 𝑇) ∈ Grp)
1492issubg 19145 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑃) ↔ (𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑇𝑈 ∧ (𝑃s 𝑇) ∈ Grp))
150142, 104, 148, 149syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑃))
151150ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑃))
152125subgcl 19155 . . . . . . . 8 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑃) ∧ 𝑥𝑇𝑦𝑇) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝑇)
153151, 112, 114, 152syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝑇)
154142ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → 𝑃 ∈ Grp)
1552, 125, 154, 113, 115grpcld 18966 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝑈)
1565, 128, 29, 13, 129, 130, 131, 30, 23, 2, 132, 133, 134, 135, 136, 22, 97, 48, 155algextdeglem7 33765 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → ((𝑥(+g𝑃)𝑦) ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑥(+g𝑃)𝑦)))
157153, 156mpbid 232 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → (𝐻‘(𝑥(+g𝑃)𝑦)) = (𝑥(+g𝑃)𝑦))
158127, 141, 1573eqtr3d 2784 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑥(+g‘(𝐻s 𝑃))𝑦) = (𝑥(+g𝑃)𝑦))
159 fvex 6918 . . . . . . . . 9 (deg1𝐾) ∈ V
160 cnvexg 7947 . . . . . . . . 9 ((deg1𝐾) ∈ V → (deg1𝐾) ∈ V)
161 imaexg 7936 . . . . . . . . 9 ((deg1𝐾) ∈ V → ((deg1𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀𝐴)))) ∈ V)
162159, 160, 161mp2b 10 . . . . . . . 8 ((deg1𝐾) “ (-∞[,)(𝐷‘(𝑀𝐴)))) ∈ V
16348, 162eqeltri 2836 . . . . . . 7 𝑇 ∈ V
164105, 125ressplusg 17335 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ V → (+g𝑃) = (+g‘(𝑃s 𝑇)))
165163, 164ax-mp 5 . . . . . 6 (+g𝑃) = (+g‘(𝑃s 𝑇))
166165oveqi 7445 . . . . 5 (𝑥(+g𝑃)𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑃s 𝑇))𝑦)
167158, 166eqtrdi 2792 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑇) ∧ 𝑦𝑇) → (𝑥(+g‘(𝐻s 𝑃))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑃s 𝑇))𝑦))
168167anasss 466 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑇𝑦𝑇)) → (𝑥(+g‘(𝐻s 𝑃))𝑦) = (𝑥(+g‘(𝑃s 𝑇))𝑦))
169 simprr 772 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝑦𝑇)
17012adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝐸 ∈ Field)
1714adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
17214adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝐴 ∈ (𝐸 IntgRing 𝐹))
173104adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝑇𝑈)
174173, 169sseldd 3983 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝑦𝑈)
1755, 128, 29, 13, 170, 171, 172, 30, 23, 2, 132, 133, 134, 135, 136, 22, 97, 48, 174algextdeglem7 33765 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝑦𝑇 ↔ (𝐻𝑦) = 𝑦))
176169, 175mpbid 232 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝐻𝑦) = 𝑦)
177176oveq2d 7448 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐻s 𝑃))(𝐻𝑦)) = (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐻s 𝑃))𝑦))
178 simprl 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝑥𝐹)
17933sdrgss 20795 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ⊆ (Base‘𝐸))
1805, 33ressbas2 17284 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ⊆ (Base‘𝐸) → 𝐹 = (Base‘𝐾))
1814, 179, 1803syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 = (Base‘𝐾))
18223ply1sca 22255 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Ring → 𝐾 = (Scalar‘𝑃))
1838, 182syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 = (Scalar‘𝑃))
184183fveq2d 6909 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
185181, 184eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
186185adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝐹 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
187178, 186eleqtrd 2842 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
188118adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝐻:𝑈onto→(Base‘(𝐻s 𝑃)))
189120adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝐻 ∈ (𝑃 LMHom (𝐻s 𝑃)))
190 eqid 2736 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠𝑃)
191 eqid 2736 . . . . . 6 ( ·𝑠 ‘(𝐻s 𝑃)) = ( ·𝑠 ‘(𝐻s 𝑃))
192 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
193109, 2, 110, 187, 174, 188, 189, 190, 191, 192lmhmimasvsca 33045 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐻s 𝑃))(𝐻𝑦)) = (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦)))
194177, 193eqtr3d 2778 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐻s 𝑃))𝑦) = (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦)))
19564, 97fmptd 7133 . . . . . 6 (𝜑𝐻:𝑈𝑇)
196195adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝐻:𝑈𝑇)
197 eqid 2736 . . . . . 6 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
198143lveclmodd 21107 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
199198adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝑃 ∈ LMod)
2002, 197, 190, 192, 199, 187, 174lmodvscld 20878 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦) ∈ 𝑈)
201196, 200ffvelcdmd 7104 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦)) ∈ 𝑇)
202194, 201eqeltrd 2840 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐻s 𝑃))𝑦) ∈ 𝑇)
203144adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑃))
204197, 190, 192, 145lssvscl 20954 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ (LSubSp‘𝑃)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑦𝑇)) → (𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦) ∈ 𝑇)
205199, 203, 187, 169, 204syl22anc 838 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦) ∈ 𝑇)
2065, 128, 29, 13, 170, 171, 172, 30, 23, 2, 132, 133, 134, 135, 136, 22, 97, 48, 200algextdeglem7 33765 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → ((𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦) ∈ 𝑇 ↔ (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦)))
207205, 206mpbid 232 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝐻‘(𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦))
208105, 190ressvsca 17389 . . . . . 6 (𝑇 ∈ V → ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠 ‘(𝑃s 𝑇)))
209163, 208mp1i 13 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → ( ·𝑠𝑃) = ( ·𝑠 ‘(𝑃s 𝑇)))
210209oveqd 7449 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝑥( ·𝑠𝑃)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑃s 𝑇))𝑦))
211194, 207, 2103eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝑇)) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝐻s 𝑃))𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑃s 𝑇))𝑦))
212 eqid 2736 . . 3 (Scalar‘(𝐻s 𝑃)) = (Scalar‘(𝐻s 𝑃))
213105, 197resssca 17388 . . . 4 (𝑇 ∈ V → (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘(𝑃s 𝑇)))
214163, 213ax-mp 5 . . 3 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘(𝑃s 𝑇))
2151, 3, 99, 101, 197imassca 17565 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘(𝐻s 𝑃)))
216183, 215eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (Scalar‘(𝐻s 𝑃)))
217216fveq2d 6909 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘(Scalar‘(𝐻s 𝑃))))
218181, 217eqtrd 2776 . . 3 (𝜑𝐹 = (Base‘(Scalar‘(𝐻s 𝑃))))
219215fveq2d 6909 . . . . . 6 (𝜑 → (+g‘(Scalar‘𝑃)) = (+g‘(Scalar‘(𝐻s 𝑃))))
220219oveqd 7449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑃))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘(𝐻s 𝑃)))𝑦))
221220eqcomd 2742 . . . 4 (𝜑 → (𝑥(+g‘(Scalar‘(𝐻s 𝑃)))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑃))𝑦))
222221adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐹𝑦𝐹)) → (𝑥(+g‘(Scalar‘(𝐻s 𝑃)))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝑃))𝑦))
223 lmhmlvec2 33671 . . . 4 ((𝑃 ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ (𝑃 LMHom (𝐻s 𝑃))) → (𝐻s 𝑃) ∈ LVec)
224143, 120, 223syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐻s 𝑃) ∈ LVec)
225102, 107, 108, 168, 202, 211, 212, 214, 218, 185, 222, 224, 147dimpropd 33660 . 2 (𝜑 → (dim‘(𝐻s 𝑃)) = (dim‘(𝑃s 𝑇)))
22623, 26, 48, 61, 7, 105ply1degltdim 33675 . 2 (𝜑 → (dim‘(𝑃s 𝑇)) = (𝐷‘(𝑀𝐴)))
227225, 226eqtrd 2776 1 (𝜑 → (dim‘(𝐻s 𝑃)) = (𝐷‘(𝑀𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  cun 3948  cin 3949  wss 3950  {csn 4625   cuni 4906   class class class wbr 5142  cmpt 5224  ccnv 5683  dom cdm 5684  cima 5687  wf 6556  ontowfo 6558  cfv 6560  (class class class)co 7432  [cec 8744  1c1 11157  -∞cmnf 11294   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  0cn0 12528  cz 12615  [,)cico 13390  Basecbs 17248  s cress 17275  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17485  s cimas 17550   /s cqus 17551   MndHom cmhm 18795  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139   ~QG cqg 19141   GrpHom cghm 19231  Ringcrg 20231  SubRingcsubrg 20570  Domncdomn 20693  IDomncidom 20694  DivRingcdr 20730  Fieldcfield 20731  SubDRingcsdrg 20788  LModclmod 20859  LSubSpclss 20930   LMHom clmhm 21019  LVecclvec 21102  RSpancrsp 21218  PwSer1cps1 22177  Poly1cpl1 22179   evalSub1 ces1 22318  deg1cdg1 26094  Monic1pcmn1 26166  Unic1pcuc1p 26167  rem1pcr1p 26169  idlGen1pcig1p 26170   fldGen cfldgen 33313  dimcldim 33650   IntgRing cirng 33734   minPoly cminply 33743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-reg 9633  ax-inf2 9682  ax-ac2 10504  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-ofr 7699  df-rpss 7744  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-r1 9805  df-rank 9806  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-ac 10157  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-ico 13394  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-imas 17554  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-mri 17632  df-acs 17633  df-proset 18341  df-drs 18342  df-poset 18360  df-ipo 18574  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-srg 20185  df-ring 20233  df-cring 20234  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-rhm 20473  df-nzr 20514  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-rlreg 20695  df-domn 20696  df-idom 20697  df-drng 20732  df-field 20733  df-sdrg 20789  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lmhm 21022  df-lbs 21075  df-lvec 21103  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-cnfld 21366  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-uvc 21804  df-lindf 21827  df-linds 21828  df-assa 21874  df-asp 21875  df-ascl 21876  df-psr 21930  df-mvr 21931  df-mpl 21932  df-opsr 21934  df-evls 22099  df-evl 22100  df-psr1 22182  df-vr1 22183  df-ply1 22184  df-coe1 22185  df-evls1 22320  df-evl1 22321  df-mdeg 26095  df-deg1 26096  df-mon1 26171  df-uc1p 26172  df-q1p 26173  df-r1p 26174  df-ig1p 26175  df-dim 33651  df-irng 33735  df-minply 33744
This theorem is referenced by:  algextdeg  33767
  Copyright terms: Public domain W3C validator