MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslvec 21001
Description: A vector subspace is a vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslvec.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
lsslvec.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsslvec ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LVec)

Proof of Theorem lsslvec
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20998 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lsslvec.x . . . 4 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
3 lsslvec.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lsslmod 20851 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
51, 4sylan 578 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
6 eqid 2728 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
72, 6resssca 17331 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
87adantl 480 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
96lvecdrng 20997 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
109adantr 479 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
118, 10eqeltrrd 2830 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ DivRing)
12 eqid 2728 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
1312islvec 20996 . 2 (𝑋 ∈ LVec ↔ (𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ DivRing))
145, 11, 13sylanbrc 581 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   β†Ύs cress 17216  Scalarcsca 17243  DivRingcdr 20631  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LVecclvec 20994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-mgp 20082  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lvec 20995
This theorem is referenced by:  phlssphl  21598  lssdimle  33338  lbslsat  33347  lsatdim  33348  kerlmhm  33351  imlmhm  33352  ply1degltdimlem  33353  ply1degltdim  33354  algextdeglem8  33425  lcdlvec  41096
  Copyright terms: Public domain W3C validator