Theorem lsslvec 21104

Description: A vector subspace is a vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslvec.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslvec.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsslvec	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LVec)

Proof of Theorem lsslvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21101	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsslvec.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		lsslvec.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lsslmod 20955	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
5	1, 4	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	2, 6	resssca 17306	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9	6	lvecdrng 21100	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11	8, 10	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ DivRing)
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
13	12	islvec 21099	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ LVec ↔ (𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ DivRing))
14	5, 11, 13	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223  DivRingcdr 20706  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LVecclvec 21097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lvec 21098

This theorem is referenced by:  phlssphl  21639  lssdimle  33752  lbslsat  33760  lsatdim  33761  kerlmhm  33764  imlmhm  33765  ply1degltdimlem  33766  ply1degltdim  33767  dimlssid  33776  lvecendof1f1o  33777  algextdeglem8  33868  lcdlvec  42037