MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsslvec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsslvec 20954
Description: A vector subspace is a vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsslvec.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
lsslvec.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lsslvec ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LVec)

Proof of Theorem lsslvec
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20951 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2 lsslvec.x . . . 4 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
3 lsslvec.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
42, 3lsslmod 20804 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
51, 4sylan 579 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
6 eqid 2726 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
72, 6resssca 17294 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑆 β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
87adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
96lvecdrng 20950 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
109adantr 480 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ DivRing)
118, 10eqeltrrd 2828 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ DivRing)
12 eqid 2726 . . 3 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
1312islvec 20949 . 2 (𝑋 ∈ LVec ↔ (𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalarβ€˜π‘‹) ∈ DivRing))
145, 11, 13sylanbrc 582 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LVec)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   β†Ύs cress 17179  Scalarcsca 17206  DivRingcdr 20584  LModclmod 20703  LSubSpclss 20775  LVecclvec 20947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lvec 20948
This theorem is referenced by:  phlssphl  21547  lssdimle  33209  lbslsat  33218  lsatdim  33219  kerlmhm  33222  imlmhm  33223  ply1degltdimlem  33224  ply1degltdim  33225  algextdeglem8  33300  lcdlvec  40974
  Copyright terms: Public domain W3C validator