Theorem lsslvec 21094

Description: A vector subspace is a vector space. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsslvec.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
lsslvec.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsslvec	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LVec)

Proof of Theorem lsslvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21091	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2		lsslvec.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
3		lsslvec.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	lsslmod 20944	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
5	1, 4	sylan 581	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7	2, 6	resssca 17295	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
9	6	lvecdrng 21090	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
11	8, 10	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑋) ∈ DivRing)
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
13	12	islvec 21089	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ LVec ↔ (𝑋 ∈ LMod ∧ (Scalar‘𝑋) ∈ DivRing))
14	5, 11, 13	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LVec)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358   ↾_s cress 17189  Scalarcsca 17212  DivRingcdr 20695  LModclmod 20844  LSubSpclss 20915  LVecclvec 21087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19088  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lvec 21088

This theorem is referenced by:  phlssphl  21647  lssdimle  33772  lbslsat  33781  lsatdim  33782  kerlmhm  33785  imlmhm  33786  ply1degltdimlem  33787  ply1degltdim  33788  dimlssid  33797  lvecendof1f1o  33798  algextdeglem8  33889  lcdlvec  42048