Theorem lmodgrpd 20701

Description: A left module is a group. (Contributed by SN, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodgrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrpd	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodgrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 20698	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098  Grpcgrp 18850  LModclmod 20691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-nul 5296

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-iota 6485  df-fv 6541  df-ov 7404  df-lmod 20693

This theorem is referenced by:  lvecgrpd  20941  imaslmhm  32899  ply1degltlss  33099  q1pvsca  33106  lvecgrp  41562