Theorem lmodgrpd 20865

Description: A left module is a group. (Contributed by SN, 16-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodgrpd.1	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrpd	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodgrpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 20862	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Grpcgrp 18909  LModclmod 20855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370  df-lmod 20857

This theorem is referenced by:  lvecgrpd  21103  imaslmhm  33417  ply1degltlss  33656  q1pvsca  33664  lvecgrp  42982